Егер М(2;1) және N(-2;4) болса, диаметрі MN кесіндісі болатын шеңбердің радиусын және центрінің координаталарын табыңыздар.

1) Возможно, тут и как-то по-другому нужно доказывать, но так тоже всё верно:
, как диагонали равных квадратов, значит Δ - равнобедренный, О - середина АС, значит - медиана, биссектриса и высота, то есть ⊥
ЧТД

2) Можно по достаточному условию перпендикулярности прямой и плоскости:
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
⊥ , ⊥ , значит ⊥ , и перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе , значит ∠
ЧТД

Можно по теореме о трёх перпендикулярах:
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Здесь ещё проще: АВ проведена через основание наклонной , - проекция на плоскость АВС и ⊥, значит ⊥ и ∠
ЧТД

Находим координаты точки М - середины стороны ВС:
М((3+2)/2=2,5; (4+1)/2=2,50 = (2,5; 2,5).
Уравнение медианы АМ : (Х-Ха)/(Хм-Ха) = (У-Уа)/(Ум-Уа).
Подставив координаты точек, получаем каноническое уравнение::
, или приведя к целым знаменателям 
Приведя к общему знаменателю, получаем обще уравнение медианы АМ:
Х - 9У + 20 = 0.
Или в виде уравнения с коэффициентом:
у = (1/9)х + (20/9).

Высота АД перпендикулярна АС, поэтому составляем уравнение стороны АС:
АС: (х+2)/4 = (у-2)/-1,
АС: х+4у-6=0,
АС: у = -(1/4)х+(6/4).
Коэффициент а высоты ВД равен -1/(-(1/4)) = 4.
Подставим координаты точки В:
4= 4*3+С, отсюда С = 4-12 =-8.
Уравнение высоты ВД: у = 4х-8.

Для определения углов нужны длины сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √29 ≈ 5.385164807,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √10 ≈ 3.16227766,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √17 ≈ 4.123105626.

cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС) = -0.076696 (по теореме косинусов).
Угол С равен  1.647568 радиан или 94.39871 градусов.