Дано: чотирикутник ABCD - рівнобічна трапеція (AB = CD); ∠BAD = 60°, BD = 14 см.
Знайти: BC - ?
Розв'язання. Нехай х см - довжина більшої основи (AD) трапеції. Тоді (х - 10)см - довжина бокової сторони трапеції (AB). Скористаємося теоремою косінусів - твердженням про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора.
BD² = AD² + AB² - 2 × AD × AB × cos∠BAD
14² = x² + (x - 10)² - 2 × x × (x - 10) × cos60°
196 = x² + x² - 20x + 100 - 2(x² - 10x) × 1/2
196 = x² - 10x + 100
x² - 10x - 96 = 0
Скористаємося теоремою Вієта:
х₁ + х₂ = 10
х₁ × х₂ = -96
x₁ = -6 (не задовольняє умові задачі); x₂ = 16
Тоді АD = 16 см, а AB = 16 - 10 = 6 см.
Для того, щоб знайти меншу основу рівнобічної трапеції проведемо дві висоти ВК та СМ з точок В і С відповідно (див. рисунок). Вони утворюють прямокутник, у якого менша основа трапеції ВС дорівнює відрізку КМ, який належить більшій основі AD.
KM = AD - AK - MD = AD - 2AK (тому що AK = MD).
Щоб знайти відрізок АК, розглянемо трикутник АВК (∠AKB = 90°):
cosα = AK/AB ⇒ AK = AB × cosα = 6 × 1/2 = 3 (cм)
Отже, KM = AD - 2AK = 16 - 2 × 3 = 10 (см) = BC
Відповідь: ВС = 10 см.
Правильный тетраэдр, все грани - правильные треугольники.
В правильном треугольнике высоты/биссектрисы/медианы к любой стороне совпадают.
BH - высота/медиана, HP/PB =2/1 (по условию)
Центр △BCS - пересечение биссектрис/медиан.
BD - медиана, BN/ND =2/1 (свойство медиан треугольника)
Плоскость (DBH)
HP/PB *BN/ND *DE/EH =1 (т Менелая)
2/1 *2/1 *DE/EH =1 => DE/EH =1/4
DE/HD =1/3
Плоскость (ACS)
HD - средняя линия в △ACS => HD||AS, HD =AS/2 =SM
△DKE~△SKM (по накрест лежащим при HD||AS)
DK/SK =DE/SM =DE/HD =1/3
(DK=x, SK=3x, SD=DC=4x) => SK/KC =3/5. Нашли точку K.
Плоскость (BCS)
CL/LB *BN/ND *DK/KC =1
CL/LB *2/1 *1/5 =1 => CL/LB =5/2. Нашли точку L.
Плоскость (ABC)
CL/LB *BP/PH *HF/FC =1
5/2 *1/2 *HF/FC =1 => HF/FC =4/5
(HF=4x, FC=5x, AH=HC=x, AF=3x) => AF/FH =3/4
HP/PB *BT/TA *AF/FH =1
2/1 *BT/TA *3/4 =1 => BT/TA =2/3. Нашли точку T.
Сечение MKLT
Плоскость сечения делит ребро AB в отношении 3:2 от точки A.
