1) Угол ABC = 80° угол BCD = 100° . Могут ли прямые AB и CD быть
a) паралельными
-могут .
Сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей равна 180°
АВС+ВСD=80°+100°=180°
b) пересекающимися
- не могут, поскольку они параллельны.
2)
Сумма двух углов треугольника = 70 градусов .
Чему равен меньший из углов, под которым пересекаются биссекстрисы острых углов треугольника?
Сумма половин острых углов этого треугольника
70°:2=35°
Тупой угол АОС=180°-35=145°
Смежный с ним острый угол ( он меньший из углов, образованных при пересечении биссектрис) равен
180°-145°= 35°.
Вывод: меньший из углов , под которым пересекаются биссекстрисы острых углов треугольника, равен полусумме этих углов.
3)
Величина внешнего угла треугольника = 108°, а величина внутренних углов, не смежных с ним, относится как 5:4 .
Найдите углы треугольника .
Угол - пусть это будет угол В-, для которого дан внешний угол, равен 180°-108°=72°
Сумма углов А+С=108° (данному в условии внешнему углу).
Пусть один угол равен 4х, второй -5х
Тогда 4х+5х=9х
х=108°:9=12°
Угол ВАС=12°*4=48°
Угол ВСА=12°*5=60°
Проверка:
60°+48°+72°=180° - сумма углов треугольника.
Раз AB=BC, то треугольник ABC - равнобедренный, а в нем:
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Сторона АВ = АМ+МВ = 13 = ВС.
Прямоугольные треугольники АОМ и АОD равны, так как АО - биссектриса, углы ОАМ и ОАD равны, ОМ и ОD -равны (радиус) а гипотенуза общая. Значит АМ = АD = 5.
Значит стороны в треугольнике равны 13, 13 и 10. А периметр = 36.
Радиус вписанной окружности равен
r = b/2√(2a-b)/2a+b) = 10/2*√16/36 = 5*2/3 = 10/3 = 3и1/3.
