10 класс геометрия с решением *

Как известно количество вершин и сторон в любом многоугольнике совпадает, пускай в нашем случае их будет  х,

дальше будем рассуждать следующим образом: 
чтобы узнать число диагоналей каждую вершину соединяем с другими вершинами, кроме нее самой и соседних, получаем х *(х-3), но так как при таком соединении диагонали повторяются 2 раза, то их число в х-угольнике будет х*(х-3)/2

по условию имеем соотношение (х*(х-3)/2)/х = 2,5
х² - 3х = 5х
х² - 8х = 0
х = 0  либо х = 8
первый корень не удовлетворяет условию,значит х = 8
ответ: 8

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

Пусть дан параллелограмм ABCD.  AD и ВС - ,большие стороны. Точка пересечения диагоналей, которая делит их пополам, - точка О.

Проведем через точку О прямую, отрезок которой MN лежит между большими сторонами параллелограмма, причем точка M принадлежит стороне ВС, а точка N принадлежит стороне AD.

Тогда треугольники ОМС и ONA равны по двум углам (<MCO=<NAO как накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АС, <MOC=<NOA как вертикальные, АО=ОС - половины диагонали АС).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. => OM=ON. Следовательно, отрезок MN делится точкой О пополам, что и требовалось доказать.