У рівнобедреному трикутнику співпадають медіана, бісектриса і висота, що проведені… а) до будь-якої сторони; б) з будь-якої вершини; в) до бічної сторони; г) до основи.

Пусть K вершина пирамиды, основание   ABCD_ромб ; ∠BAD=30°; KO ⊥(ABCD) , KO =h  (высота пирамиды) ; OE ⊥ AD ; ∠KEO =60°.
E ∈ AD

Sпол -?

Sпол = Sосн + Sбок .
Все грани с  плоскостью основания составляют равны углы (в данном случае 60°),значит высота  пирамиды проходит через центр O окружности  вписанной в  основании ABCD. Через точку O проведем прямую ,перпендикулярную AD (BC) ,которая пересекает сторону  AD допустим в точке E ,а сторону BC в точке F. KE  и KF будут апофемы соответственно   боковых граней  AKD и BKC.Из OE ⊥ AD⇒OE ⊥ KE
(теорема трех перпендикуляров). Треугольник EKF_равносторонний: (∠KEO=∠KFO=60°) . Поэтому  KE=KF=EF   || =2*OE =2*r||.
Из ΔKOE:  KO =KE*√3/2 ⇒KE=2KO/√3 =2h/√3.
KE=KF=EF =2h/√3.
Найдем сторону основания.Из вершины B опускаем перпендикуляр BN на AD. EF =BN =AB/2 (катет против угла 30°)⇒ AB=2*EF.          
---
Sосн  =AB*BN =2*EF*EF =2EF² .
Sбок=4*(1/2)AD*KE=2AD*KE =2AB*KE =2*2*EF*KE =4EF².
Sпол = Sосн + Sбок =2EF²+4EF² =6EF²=6*(2h/√3)² =(6*4/3)h²=8h².

ответ: 8h².

Угол треугольника равен п / 3, противоположная ему сторона √7 см, отношение длин двух других сторон а: b = 3 . Найти большую сторону треугольника.

Решение .

Т.к.  а: b = 3 , то а=3b ⇒ большая сторона а.

Рассмотрим  треугольник со сторонами в, 3в, √7 и углом 60°против стороны √7 .

По т. косинусов  "Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними"  , имеем

√7²=b²+(3b)²-2*b*3b*cos60,

7=b²+9b²-2*b*3b*1/2,

7=10b²-3b²  или 7b²=7 ⇒ b=1 . Тогда наибольшая сторона а=3b=3*1=3(cм) .