Сторона квадрата ОАВС
дорівнює 5 (рис. 303). Запишіть
координати вектора
AC це вся відповідь
​

1
Рассмотрим треугольник AOC и треугольник BOD:
Угол AOC =  BOD (как вертикальные)
AO=OB и CO=OD (по условию,т.к. точка является O - посередине)
значит, треугольник AOC =  равен треугольнику BOD (по двум сторонам и углу между ними)
значит угол DAO =  равен углу  CBO(в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы)

2
Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ADC:
по условию,  угол BDA  = углу ADC
сторона AD - общая и по условию угол BAD = углу DAC (т.к. AD - биссектриса)
Значит,  треугольник ABD = треугольнику ADC(по двум углам и стороне между ними)
значит сторона AB=AC(т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат равны стороны)

Пусть О - точка пересечения медиан.

Если взглянуть на хорошо нарисованный чертеж (то есть такой, где медианы треугольника взаимно перпендикулярны), можно увидеть три прямоугольных треугольника (их там больше, но нам только эти нужны) АОВ, АОЕ и BOD.

если обозначить КОРОТКИЕ ОТРЕЗКИ медиан, как y и z (ОD = z, при этом по свойству медиан ОА = 2*z, и так же OE = y, поэтому ОВ = 2*y), а неизвестную сторону АВ = х, то из этих треугольников сразу получается 3 равенства:

(2*y)^2 + (2*z)^2 = x^2; то есть х^2 = 4*(y^2 + z^2);

z^2 + (2*y)^2 = BD^2 = 4;

(2*z)^2 + y^2 = AE^2 = (3/2)^2 = 9/4;

Два последних уравнения можно честно решить, найти y и z, и вычислить х. Но раз нам надо только найти сумму квадратов y и z, можно сложить эти 2 последних уравнения, и мы сразу получим ответ.

5*(y^2 + z^2) = 4 + 9/4 = 25/4; (y^2 + z^2) = 5/4; x^2 = 5;

ответ: АВ = корень(5)