Пусть АВСД - данная трапеция, ВС||АД, ВС=9 см, АД=21 см, ВК=8 см - высота.
Решение
1. Радиус описанного круга равен радиусу круга, описанного около ΔАВД.
2. Рассмотрим ΔАКВ - прямоугольный.
АК=(АД-ВС):2 = 6 см.
АВ²=АК² + ВК² - (по теореме Пифагора)
АВ²=36+64=100
АВ=10 см.
3. Рассмотрим ΔВКД - прямоугольный.
КД=АД-АК=21-6=15 (см)
ВД²=ВК² + КД² - (по теореме Пифагора)
ВД²=64+225=289
ВД=17 см.
4. Рассмотрим ΔАВД.
SΔ = ½ ah
SΔ = ½ · 21 · 8 = 84 (см²)
5. R=abc/4S
R=(21·10·17)/(4·84) = 3570/336 = 10,625 (см)
ответ. 10,625 см.
а) Находим уравнение прямой ВС:
у = кх+b Подставим сюда координаты точек В и С, составим систему и найдем k и b:
5k + b = -7 b=-7-5k = 8
2k+ b = 2 3k = -9 k = -3
Получили уравнение: у = -3x + 8
Опускаем перпендикуляр из А на ВС, получим точку К -проекция А на ВС.
Прямая АК имеет угловой коэффициент: -1/k = 1/3
Значит ее уравнение имеет вид:
у = x/3 +b. Подставим координаты точки А:
-1 + b = -5 b = -4 Уравнение АК: у = х/3 - 4
Ищем координаты точки пересечения АК и ВС: (это и есть искомая проекция)
-3х+8 = х/3 - 4 10х/3 = 12 х = 3,6 у = -10,8 + 8 = -2,8.
ответ: (3,6; -2,8).
б) Вектор АВ: (2+3; 2+5):(5;7) Пусть М(х;у).
Тогда вектор СМ:((х-5); (у+7))
Скалярное произведение (СМ*АВ) = 5(х-5) + 7(у+7) = 122
С другой стороны точка М принадлежит АВ. Найдем уравнение АВ:
у = kx+b
-3k+b=-5 b = -5+3k = -4/5
2k+b=2 5k=7 k = 7/5
Уранение АВ: у = 7х/5 - 4/5 - вот и еще уравнение для нахождения координат точки М. Получили систему:
5(х-5) + 7(у+7) = 122 5х + 7у = 98 |*5 25х + 35у = 490
у = 7х/5 - 4/5 5у - 7х = -4 |*(-7) 49х - 35у = 28
74х = 518 x = 7 7у = 98 - 35 = 63 у = 9
ответ: М(7; 9).
