Построили трапецию ABCD с основаниями АВ и DC. Известно, что АВ=5, DC=10, AD=4 и ВС=7. В трапеции проведены биссектрисы углов A и D, которые пересекаются в точке К, и биссектрисы углов В и С, которые пересекаются в точке М. Найдите КМ.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Угол А в два раза меньше угла В, т.е. градусную меру угла В составляет некое число, умноженное на два, а градусную меру угла А просто это число. Отсюда можно найти градусную меру этой части, за счёт чего в дальнейшем найти градусные меры угла.
Градусная мера угла С меньше заданной нами части градусной меры углов на 20 градусов, чтобы найти эту часть нужно эту разницу в 20 градусов прибавить к 180, тогда мы получаем следующее уравнение:
x+2x+x=200, 4x=200, x=50 градусов. Теперь просто подставляем найденную нами величину в заданные условием величины наших углов.
Угол А=50 градусов, угол В=2*50=100 градусов, а угол С=50-20=30.
Проверим найденные значения на верность, их сумма должна быть равна 180 градусам:
100+500+30=180, так и есть, следовательно, найденные градусные меры углов верны.
ответ: угол А=50 градусов, угол В=100 градусов, угол С=30 градусов.

Параллельно прямой АК проведём прямую СМ к стороне АД. СМ пересекает ВД в точке Е.
Треугольники АВК и CДМ равны т.к. АВ=СД, ВК=ДМ и ∠В=∠Д. В них ∠АВР=∠СДЕ, значит ВР=ДЕ. 
Пусть одна часть в заданном отношении равна х, тогда ВР=ДЕ=2х, РД=3х, РЕ=РД-ДЕ=3х-2х=х.
В тр-ке ВСЕ РК║СЕ, ВР:РЕ=2:1, значит ВК:СК=2:1 - это ответ 1.

Параллельно сторонам АД и ВС через точку Р проведём отрезок НО.
Параллельно сторонам АВ и СД к прямой НО проведём отрезок КТ.
НВКТ - параллелограмм. Его площадь равна двум площадям треугольника BPК т.к. у них одинаковая высота к стороне ВК.
S(НBКТ)=2S(BРК)=2.
Площадь параллелограмма ТКСО равна половине НВКТ т.к. КС=ВК/2.
S(TKСО)=2/2=1.
АНОД - параллелограмм. Соответственно его площадь равна удвоенной площади тр-ка АРД.
Тр-ки BPК и АРД подобны по трём углам, значит их коэффициент подобия k=ВР:РД=2:3, а коэффициент подобия площадей k²=4/9.
S(АРД)=S(BРК)/k²=9/4.
S(АНОД)=2·9/4=4.5,
Площадь исходного параллелограмма АВСД равна сумме площадей найденных параллелограммов НВКТ, ТКСО и АНОД.
S(АВСД)=2+1+4.5=7.5 - это ответ 2.