Площа трикутника дорівнює половині від твору його боку на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведена висота, прийнято в такому випадку називати підставою. Таким чином, можна сказати, що площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.
Якщо позначити довжину сторони-основи трикутника як a, висоту – як h, то вийде формула площі трикутника:
S = ½ ah
Щоб довести цю формулу, слід розглянути всі варіанти розташування висоти в трикутнику. Їх усього три. Це:
Висота збігається з однією з сторін трикутника. У цьому випадку ми маємо справу з прямокутним трикутником, в якому за основу взято один з катетів. Висотою ж, проведеної до цього катету, є інший катет.
Висота знаходиться всередині трикутника. У цьому випадку вона перетинається з основою і ділить його на два відрізки. При цьому даний трикутник ділиться на два прямокутних трикутника.
Висота проходить за межами трикутника. У такому випадку вона перетинається не з самим підставою, а з його продовженням (прямий, на якій лежить підстава).
Розглянемо перший випадок. Нехай дано трикутник ABC. У ньому до основи AC довжиною a проведена висота h, яка співпала зі стороною BC:
Площа прямокутного трикутника
Як відомо площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін. Якби у нас був прямокутник зі сторонами, довжини яких a і h, то його площа дорівнювала б ah. Якщо в прямокутнику провести діагональ, то вона розбиває його на два рівних прямокутних трикутника (у них відповідно рівні всі три сторони). Площі цих трикутників також рівні між собою і кожна становить ½ від площі всього прямокутника. Таким чином доведено, що площа трикутника в даному випадку буде дорівнює ½ah.
Розглянемо другий випадок. Нехай у ньому висота BH довжиною h перетинає сторону AC довжиною a.
Площа трикутника по підставі і висоті
У цьому випадку ми отримуємо два прямокутних трикутника: ABH і CBH. З розглянутого першого випадку ми знаємо, що їх площі рівні відповідно ½ · AH · h і ½ · CH · h.
Площа ж усього трикутника ABC являє собою суму цих двох площ:
S = ½ · AH · h + ½ · CH · h
Винесемо за дужки спільні множники:
S = ½ · h · (AH + CH)
Але ж AH і CH в сумі складають довжину a. Таким чином, приходимо до формули, яку потрібно було довести:
S = ½ · h · a
Тепер розглянемо третій випадок, коли висота знаходиться за межами трикутника:
Площа трикутника по підставі і висоті
Тут ми теж можемо побачити два прямокутних трикутника. Це ΔABH і ΔCBH. Причому перший включає в себе другий. Шуканий самий трикутник ABC є доповненням до трикутника CBH до трикутника ABH. Таким чином ми можемо записати, що площа ΔABH дорівнює сумі площ ΔCBH і ΔABC:
SΔABH = SΔCBH + SΔABC
Звідки знаходимо площа шуканого трикутника ABC:
SΔABC = SΔABH – SΔCBH
Площа трикутника ABH дорівнює ½ · AH · h, площа трикутника CBH дорівнює ½ · CH · h:
SΔABC = ½ · AH · h – ½ · CH · h
Виносимо загальні множники за дужку:
SΔABC = ½ · h · (AH – CH)
Але ж якщо з відрізка AH відняти відрізок CH, то вийде відрізок AC, довжина якого дорівнює a. Отже, ми можемо записати, що і в цьому випадку площа трикутника дорівнює також ½ ah.
