Докажите, что все вершины четырехугольника принадлежат - вопрос №13328985 от Nysha1111 06.01.2023 14:27

Question

Геометрия: Докажите, что все вершины четырехугольника принадлежат одной плоскости, если выполняется одно из следующих условий: 1. диагонали четырехугольника пересекаются; 2. пересекаются продолжения двух его несмежных сторон. Доказательство: 1. 2. На плоскости альфа отмечены три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Точка D не принадлежит плоскости альфа. Определите, является ли четырехугольник ABCD трапецией.

Nysha1111 · Answer

1) Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис и равен расстоянию от этой точки до сторон треугольника.
Биссектрисы равностороннего треугольника равны и являются медианами и высотами. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
Следовательно, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 1/3 его высоты.
Высота равна стороне, умноженной на синус угла треугольника.
$h= \frac{8 \sqrt{3} }{2}$ и $r= \frac{8 \sqrt{3} }{6} = \frac{4}{ \sqrt{3} }$ см

-------
2) Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Следовательно, ВС+АD=АВ+CD.
АD=2 BC⇒
BC+2ВС=7+11
3 ВС=18
ВС=6 см
AD=12 см.