Отрезки AB и CD пересекаются в точке E так, что ∠CAE = ∠DBE, AE = 16, BE = 4, ED = 15.
Найдите CE.

Углы при основании в сумме равны 90°, значит продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом и треугольник
АРD - прямоугольный.
Построение рисунка: на основании трапеции CD=21, как на диаметре, строим окружность. Тогда ЛЮБАЯ точка Р на полуокружности даст нам прямой угол. Соединим точки АР и DP прямыми и "встроим" отрезок ВС=7 в треугольник APD параллельно основанию AD.
Проведем окружность  с центром в точке О через точки А и В, касающуюся прямой DP. Отметим, что таких окружностей может быть две, симметрично прямой АВ.  Пусть точка K - точка касания окружности и прямой DP. Проведем прямую ОО1 параллельно прямой DP. Тогда четырехугольник ОКРН - прямоугольник со стороной ОК - искомым радиусом.
Решение.
Треугольник ВРС подобен треугольнику APD с коэффициентом подобия k=BC/AD=1/3. Тогда ВР/АР=1/3 или ВР/(АВ+ВР)=1/3.
Отсюда 3ВР=АВ+ВР => ВР= 6.
НВ=6 (так как ОН - перпендикуляр из центра окружности к хорде АВ).
Тогда НР=НВ+ВР=12. Но НР=ОК.
ответ: R=12.

P.S. Для окружности с центром в точке О1 решение аналогично и результат тот же.

В равнобедренном треугольнике АВС точки К и М являются серединами боковой стороны АВ и ВС  соответственно. ВД – медиана треугольника. Доказать, что ∆ ВКД = ∆ ВМД

 ВД по свойству медианы равнобедренного треугольника, в котором АВ=ВС, является еще биссектрисой угла В и высотой к основанию АС

∠АВД=∠СВД,

В треугольниках ВКД и ВМД углы при В равны  ( ВД - биссектриса угла АВС) 

 Стороны КВ и МВ равны ( т.к. КМ делит равные АВ и ВС пополам). 

 ВД - их общая  сторона

В ∆ КВД и ∆ МВД равны две стороны и угол, заключенный между ними. 

По первому признаку равенства треугольников ∆ КВД = ∆ МВД, что и требовалось доказать.