Дано: D∉(ABC); AC=BD; AL=LB (L∈AB); BK=KC (K∈BC); CM=MD (M∈CD); DN=NA (N∈DA).
Доказать: MNLK - ромб.
AC║MN и AC=2MN т.к. MN - средняя линия ΔACD.
AC║LK и AC=2LK т.к. LK - средняя линия ΔACB.
MN║AC║LK ⇒ MN║LK; 2MN=AC=2LK ⇒ MN=LK
MN║LK ⇒ MN, LK ⊂ (MNL), в этой плоскости рассмотрим четырёхугольник MNKL: у него две противоположные стороны параллельны и равны (MN, LK),поэтому это точно параллелограмм у ромба помимо этого ещё все стороны равны, значит чтобы доказать, что MNLK - ромб осталось только доказать, что MK=NM т.к. если это выполняется, то NL=MK - как противоположные стороны параллелограмма, а значит MN=NL=LK=KM.
BD=2MK т.к. MK - средняя линия ΔBDC.
BD=AC - по условию.
2MK=BD=AC=2MN ⇒ MK=MN. Доказали, значит MNLK это параллелограмм у которого все стороны равны, то есть это ромб.
78. ΔADB = ΔCDB по двум сторонам (AD = CD, а также общая сторона BD) и углу между ними (∠ADB = ∠CDB), то есть по первому признаку равенства треугольников.
79. ΔADB = ΔCDB по двум сторонам (AD = BC, а также общая сторона BD) и углу между ними (∠ADB = ∠CBD), то есть по первому признаку равенства треугольников.
82. ΔACM = ΔKBM по двум сторонам (BM = MC, AM = MK) и углу между ними (∠BMK = ∠AMC, так как эти углы вертикальные), то есть по первому признаку равенства треугольников. Рисунок к задаче на фото.
86. ΔADB = ΔCDB по стороне (общая сторона BD) и двум прилежащим углам (∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB), то есть по второму признаку равенства треугольников.
87. ΔADB = ΔCDB по стороне (общая сторона BD) и двум прилежащим углам (∠ABD = ∠CDB, ∠ADB = ∠CBD), то есть по второму признаку равенства треугольников.
