Обозначим равные катеты прямоугольного треугольника - а.
АК и ВМ - медианы. Медианы, проведенные к равным сторонам, равны. АК = ВМ.
Из прямоугольного треугольника САК по теореме Пифагора найдем медиану АК:
АК = √(АС² + СК²) = √(а² + (a/2)²) = √(a² + a²/4) = √(5a²/4) = a√5/2
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, тогда
OK = ОМ = 1/3 AK = a√5/6
AO = ВО = 2·OK = a√5/3
Из треугольника ОКВ по теореме косинусов:
KB² = KO² + OB² - 2·KO·OB·cosα
a²/4 = (a√5/6)² + (a√5/3)² - 2 · a√5/6 · a√5/3 · cosα
a²/4 = 5a²/36 + 5a²/9 - 2 · 5a²/18 · cosα
1/4 = 5/36 + 5/9 - 5/9 · cosα
cosα = (25/36 - 1/4) : (5/9) = 16/36 · 9/5 = 4/9 · 9/5 = 4/5 = 0,8
По таблице Брадиса находим, что
α ≈ 37°
ответ: Доказано
Объяснение:
Дан треугольник АВС. Угол АВС равен углу АСВ. ВК, СD-биссектрисы, пересекающиеся в точке F. Докажем, что треугольник FBC-равнобедренный.
Угол АВС=углу АСВ. Если в треугольнике два угла при основании равны, то такой треугольник называется равнобедренным. Значит, треугольник АВС-равнобедренный, с основанием СВ.
ВК, СD-биссектрисы. Биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом, угол АВК= углу КВС= углу ВСD= углу DCA. Рассмотрим треугольник FBC. Т.к. в треугольнике FBC два угла при основании равны(КВС=ВСD), то такой треугольник называется равнобедренным. Значит, треугольник FBC-равнобедренный, с основанием ВС.
