ОТ

Найдите площадь поверхности прямой призмы и ее объем, если в основании призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, а боковое ребро призмы равно 12.

Допустим AB =5 , BC =6 ,   BM =5 ,( AM =MC , M∈[AC] .

AC - ?
Продолжаем медиана и  на ней откладываем отрезок  MD=BE.   Соединяем полученную точку с вершинами.  Полученный  четырехугольник ABCD  параллелограмма. 
Для параллелограмм верно теорема_сумма квадратов диагоналей равно сумму квадратов сторон .AC²+BD² =  2(AB²+BC²)⇒AC²=2(AB²+BC²) - BD²   ||  BD=2BM=10 || 
AC² =2(5² +6²) -(2*5)²=22.
AC =√22.
ответ:  √22.

Или 
Из ΔAMB по теореме косинусов
AB² =AM² +BM² -2AM*BM*cos∠AMB         (1)
Аналогично из ΔCMB ,CB² =CM²+BM² -2CM*BM*cos(180° -∠AMB)    или
CB² =CM²+BM² +2CM*BM*cos∠AMB         (2)
Складывая уравнения (1) и  (2)  получаем :
AB²  +CB²= AM²+CM² +2BM² ;
AB²  +CB²= (AC/2)²+(AC/2)² +2BM² ;
AB²  +CB²= AC²/2 +2BM²  ;
2(AB²  +CB²)= AC² +(2BM)² ;   * * *AC² + BD² =2(AB²  +CB²)  ||   BD=2BM.* * 
AC²  = 2(AB²  +CB²) -(2BM)²

Биссектриса равностороннего треугольника является медианой и высотой. Обозначим сторону треугольника буквой х.

Биссектриса равностороннего треугольника разбивает его на два равных прямоугольных треугольника, гипотенуза треугольника равна х, биссектриса является одним катетом, длина второго катета равна х/2.

По теореме Пифагора: х² = (x/2)² + (12√3)².

х² = x²/4 + 144 * 3.

х² - x²/4 = 432.

(4х²)/4 - x²/4 = 432.

(3х²)/4 = 432.

3х² = 432 * 4;

3х² = 1728;

х² = 1728/3 = 576.

х = √576 = 24.

ответ: сторона треугольника равна 24.

Объяснение: