У правильний чотирикутник із діагоналлю 8 см вписано коло знайдіть площу кругового сектора який відповідає центральному куту чотирикутника

АВСД - равнобокая трапеция, S(АВСД)=32 (дм²)²  , ∠А=∠Д=30°
Опустим перпендикуляры ВМ и СК на АД.
Обозначим для простоты изложения АД=а , ВС=b , AB=c , BM=h .
ΔАВМ - прямоугольный , h=0,5*АВ=0,5с=c/2
S=(a+b)/2 ·h=32  ⇒ (a+b)·h=64  ⇒  (a+b)·(c/2)=64  ⇒  (a+b)·c=128
Cредняя линия в равнобокой трапеции  равна  (a+b)/2=(2c)/2
(a+b)/2=c  ⇒  a+b=2c
(a+b)·c=128  ⇒  2c·c=128 ⇒  2c²=128  ⇒  c²=64  ⇒  c=8  ⇒  h=c/2=4
AM=√(AB²-BM²)=√(8²-4²)=√48=4√3=ДК
a+b=2c  ⇒  a+b=16  ⇒  a=16-b
но  a=b+AM+ДК=b+2·4√3=b+8√3
16-b=b+8√3  ⇒   2b=16-8√3  ⇒b=8-4√3
 a=16-(8-4√3)=8+4√3
 Стороны трапеции равны 8, 8-4√3 , 8 , 8+4√3 .

Маємо ΔABC, BD -- бісектриса, AD = 3 см, CD = 4 см, <ADB = 60°.
За властивістю бісектриси: AB/BC = 3/4.
Отже, можемо позначити: AB = 3x, BC = 4x.
Запишемо теорему косинусів для ΔABD і ΔCBD:
(3x)² = 3² + BD² - 2·3·BD·cos 60°
(4x)² = 4² + BD² - 2·4·BD·cos (180° - 60°)

9x² = 9 + BD² - 2·3·BD·cos 60°
16x² = 16 + BD² + 2·4·BD·cos 60°

9x² = 9 + BD² - 3·BD
16x² = 16 + BD² + 4·BD

9x² = 9 + BD² - 3·BD
7x² = 7 + 7·BD

x² = 1 + BD
9·(1 + BD) = 9 + BD² - 3·BD

9 + 9·BD = 9 + BD² - 3·BD
9·BD = BD² - 3·BD
BD² - 12·BD = 0
BD·(BD - 12) = 0
BD = 0, BD = 12

Оскільки довжина бісектриси повинна бути додатною, BD = 12 см.