В треугольнике ABC угол В равен 20°, угол С равен 10°. Вне треугольника выбрана точка М так, что треугольник СМВ равносторонний. (Точки М и А лежат по разные стороны от прямой ВС.) Найдите угол MAC.

В правильном шестиугольнике МЕНЬШАЯ диагональ образует с большей диагональю прямоугольный треугольник с углами 30° и 60°. При этом большая диагональ является гипотенузой, а против угла 30° лежит сторона шестиугольника. По Пифагору находим сторону шестиугольника. (2а)^2 - а^2 = d^2, где а - сторона, d - меньшая диагональ шестиугольника. Отсюда 3*а^2=36, а=2√3. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. R = 2√3.Площадь круга равна S=πR^2. В нашем случае S=π*12.ответ: S=12π или 12*3,14= 37,68 см^2..

Соединим точки А,В и С в треугольник.

Каждый угол этого треугольника опирается на равную дугу. Так как углы вписанные, то они равны  ½ ·360:3=60°.
Соединим последовательно точки С, D, А. Получившийся четырехугольник АВСD - вписанный. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°
∠ СВА+ ∠СDА=180°.
∠СDА =180-60=120°
ВD - биссектриса ∠ В по условию задачи.
Поскольку Δ АВС - равносторонний, биссектриса в нем и высота, и медиана. Отсюда СА⊥ВD, СН=АН.
Δ ВСD=Δ ВАD по первому признаку равенства треугольников: 

в них равны стороны АВ и ВС, сторона ВD общая, равен и угол между этими сторонами.
∠СВD=60:2=30°
∠ СDВ=120:2=60°
∠ ВСD=180- (60+30)=90°
Δ СВD - прямоугольный.
ВD - его гипотенуза.

Гипотенуза вписанного прямоугольного треугольника является диаметром окружности, в которую этот треугольник вписан.
ВD- диаметр, что и требовалось доказать.