На сторонах AB и AC треугольника ABC, обозначили точки D и E так, что DE || BC. Какая площадь треугольника ABC, если AD = 2 см, AB = 4см, а плозадь треугольника ADE равняется 2 см кубических?

Если все боковые ребра наклонены под одним углом к основанию пирамиды, все боковые ребра равны, а вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, т.е. основанием высоты (SO = H) пирамиды явялется середина гипотенузы (AC) основания пирамиды. 

1) B прямоугольном треугольнике ABC:
Катет AB = 6
Гипотенуза AC = 12
По теореме ПИфагора:
AC² = BC² + AB²
BC² = AC² - AB²
BC² = 12² - 6²
BC² = 108
BC = 6√3 (см)
Площадь основания пирамиды:
Sосн = 1/2 * AB * BC
Sосн = 1/2 * 6 * 6√3 = 18√3 (cм²)

В прямоугольном треугольнике SCO:
Катет СО = 1/2 AC 
CO = 12 / 2 = 6 (cм)
∠SCO = 30°
Тангенсом ∠SCO является отношение противолежащего ему катета SO к прилежащему CO
tg(SCO) = SO / CO
SO = CO * tg(SCO)
SO =6 * tg 30° = 6 * 1/√3 = 6/√3 (см)

Объем пирамиды
V = 1/3 * Sосн * H           18√3 * 6
V = 1/3 * 18√3 * 6/√3 = ------------------ = 36 (см³)
                                          3 * √3

-------------------------------------------------------------------------------------------------
2) В прямоугольном треугольнике ABC:
Гипотенуза AC = 12 (см)
∠ACB = 30°
Катет AB противолежит углу 30°, такой катет равен половине гипотенузы ⇒ AB = 6 (cм)
По теореме ПИфагора:
AC² = BC² + AB²
BC² = AC² - AB²
BC² = 12² - 6²
BC² = 108
BC = 6√3 (см)
Площадь основания пирамиды:
Sосн = 1/2 * AB * BC
Sосн = 1/2 * 6 * 6√3 = 18√3 (cм²)

В прямоугольном треугольнике SCO:
Катет СО = 1/2 AC 
CO = 12 / 2 = 6 (cм)
∠SCO = 45°
∠CSO = 180 - 90 - 45 = 45 (°)
⇒ треугольник SCO - прямоугольный равнобедренный с основанием-гипотенузой и катетами-боковыми сторонами. 
SO = CO = 6 (cм)

Объем пирамиды
V = 1/3 * Sосн * H
V = 1/3 * 18√3 * 6 = 6/3 * 18√3 = 36√3 (см³)

В трапецию можно вписать окружность только тогда, когда равны суммы длин противоположных сторон трапеции. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции. Центр вписанной окружности лежит на средней линии трапеции, т.к. каждое из оснований трапеции удалено от средней линии трапеции на расстояние, равное радиусу вписанной окружности.
Длина средней линии равна полусумме оснований трапеции ⇒ сумма оснований тарпеции равна удвоенной длине средней линии трапеции. Сумма оснований трапеции равна 60. Сумма боковых сторон также равна 60. Периметр - сумма длин всех сторон - равен 120