Контрольная работа по теме «Перпендикулярность в Вариант 2

1. Длина стороны ромба АВСД равна 7 см, длина диагонали ВД= 10 см. Через
точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК,
перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки К до вершин
ромба, если ОК= 4 см.
2. Из вершины С прямоугольного треугольника АВС с углом С, равным 90, катеты
которого равны по 16 см, проведена прямая СР, перпендикулярная его
плоскости. СР = 4 см. Найдите расстояние от точки Р до стороны АВ.
3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ
параллелепипеда равна 62 см, а его измерения относятся как 1:1: 2 Найдите:
а) измерения параллелепипеда; б) площадь поверхности параллелепипеда;
б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
4.Из одной точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины
наклонных, если одна из них на 2,6 см больше другой, а проекции наклонных равны
1,2 см и 4 см.
Указание: в задаче 2 используйте теорему о трех перпеникулярах.

В основании правильной пирамиды - правильный треугольник.  Вершина S проецируется в центр О основания.  Высота правильного треугольника СН= (√3/2)*а, где а - сторона треугольника.   СН=13√3/2.  В правильном треугольнике высота=медиана и делится центром в отношении 2:1, считая от вершины. => HO=(1/3)*CH, а СО=(2/3)*СН или СО=13√3/3, НО=13√3/6.  

По Пифагору:  

Боковое ребро пирамиды SC=√(CO²+SO²) = √(313/3).

Апофема (высота боковой грани) SH=√(НO²+SO²) = √(745/12).

Боковая поверхность Sбок = (1/2)*3*АВ*SH =(39/4)*(√(745/3).

Дано:

Окружность (О; r)

∠OBA = 30°

CA — касательная

Найти:

∠BAC — ?

1) Так как радиусы окружности равны, значит, две стороны треугольника ABO равны. ⇒ ΔABO равнобедренный (AO = OB).

У равнобедренного треугольника углы при основании равны, следовательно: ∠OBA = ∠OAB = 30°.

2) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, значит CA ⊥ OA. ∠OAC = 90°.

3) ∠BAC = ∠OAC - ∠OAB.

∠BAC = 90° - 30° = 60°.

ОТВЕТ: 60°

Быстрое решение (пояснения писать обязательно нужно):

1) ΔABO равнобедренный, так как радиусы окружности, составляющие стороны треугольника, равны (AO = OB). Следовательно, ∠OBA = ∠OAB = 30°.

По свойству касательной, CA ⊥ OA ⇒ ∠OAC = 90°. Значит:

2) ∠BAC = 90° - 30° = 60°

ОТВЕТ: 60°