У трикутнику ABC (рис. 28) сторони дорівнюють a, b, c, a кути

дорівнюють α, β, γ. Навколо цього трикутника описане коло радіуса R.

Які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними?

1) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра. радиус основания которого равен 4. а высота 5.                                                   Найти объем параллелепипеда

Все грани прямоугольного параллелепипеда -прямоугольники. Основания вписанного цилиндра - окружности, вписанные в основания параллелепипеда, а его высота является и высотой параллелепипеда. 

Если в прямоугольник вписана окружность - этот прямоугольник - квадрат. 

Стороны основания параллелепипеда равны диаметру оснований цилиндра. 

а=2r=8

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех измерений. 

V=S*H=8*8*5=320 (единиц объема)

----------------------

2) Радиус основания конуса равен 15, расстояние от центра до образующей равно 12. Найти площадь боковой поверхности конуса.

формула площади боковой поверхности конуса

S=πRL

Расстояние от центра основания до образующей - в данном случае высота прямоугольного треугольника ВОС, образованного высотой ВО  конуса, радиусом ОС и образующей ВС (она же гипотенуза треугольника ОВС)

∆ ОНС - египетский ( отношение катета и гипотенузц 3:5). Значит, НС=9 ( можно найти по т.Пифагора)

ОС - катет ∆ ОВС. 

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. 

. ОС²=ВС*НС

225=ВС*9

ВС=225:9=25

S=π*15*25=375 (ед. площади)

-----------------------------

В ΔABC: AC=BC=13, sin ∠A=12/13.  Hайти АВ

СН- высота ∆ АВС

АВ=2 АН

АН=АС*cos A

cos A=√(1-(12/13)² )=5/13

AH=5

АВ=5*2=10

1) Находим радиус вписанной окружности, а для этого по формуле Герона находим площадь: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
р = (6+7+5)/2 = 9
S = √(9(9-6)(9-7)(9-5)) =  √216  = 14.69693846
r = S / p =  14.69693846 / 9 =  1.63299316.
Так как треугольники подобны, то площади пропорциональны квадрату коэффициента пропорциональности.
Найдем высоту треугольника АВС:
Hb= 2S / b = 2*14.69693846 / 7 =  4.1991253.
Высота треугольника ВКМ меньше на 2 радиуса:
hb = Hb - 2r = 4.1991253 - 2*1.63299316 =  0.93313895
Коэффициент пропорциональности к = hb / Hb =  0.9331389 / 4.1991253 =  0.22222222,
к² =  0.04938272. 
Тогда S(BKM) = 14.69693846* 0.04938272 =  0.725774739 кв.ед.
А периметр равен Р(АВС)*к = (6+7+5)*0.22222222 =
= 18*0.22222222 = 4.
2) В этой задаче не улавливается зависимость между заданными площадями треугольников.
3) В этой задаче что то неверно в условии.
Если  диаметр , проходящий через вершину В, делит хорду KL пополам, то эта хорда перпендикулярна диаметру. При этом она не пересекает сторону ВС - смотри прилагаемый чертёж.