Скільки площин можна провести через вершину А трикутника АВС паралельно до ВС?

1. Нарисуйте чертеж.
2. Угол между биссектрисой и высотой обозначьте за X.
3. Угол между высотой и ближней к ней стороной Δ - за Y.
4. Тогда угол между биссектрисой и ближней к ней стороной Δ будет =  X+Y.
5. Выразите все остальные углы Δ: это легко, т.к. в данном Δ будут два прямоугольных Δ.
6. Вы получите, что два угла при других вершинах Δ будут = 90-Y и 90-2X-Y. Их разность будет = 2X.
7. Следовательно, угол между биссектрисой и высотой (мы его приняли за Х) равен полуразности углов при других двух вершинах (эта разность = 2Х).

В правильной треугольной пирамиде высота основания равна h, боковые рёбра наклонены к основанию под углом α. Найти объём пирамиды.

===========================================================

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Вершина такой пирамиды проецируется в центр основания. Центр правильного треугольника является точка О - точка пересечения бисссектрис, медиан и высот. СН = h , ∠ACB = αВ ΔАВС:  Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.СО:ОН = 2:1  ⇒  СО = 2•СН/3 = 2h/3В ΔСАН:  sin60° = CH/AC  ⇒  AC = CH/sin60° = CH/(√3/2) = 2h/√3В ΔСМО:  tgα = MO/CO  ⇒  MO = CO•tgα = 2h•tgα/3V пир. = (1/3)•Sabc•MO = (1/3) • (AC²•√3/4) • MO = (1/3) • (2h/√3)² • (√3/4) • (2h•tgα/3) = 2√3•h³•tgα/27ОТВЕТ: V = 2√3•h³•tgα/27