Прямоугольник со сторонами в соотношении 2: 1 вписан в равносторонний треугольник со стороной 6 см в длину. Вычислите содержимое прямоугольника, предполагая, что более длинная сторона прямоугольника лежит на одной из сторон треугольника.

ответ:    54-27√3   cm2

Объяснение:

ABC - треугольник. KLMN - прямоугольник.  K и N находятся на стороне АС.  KL=MN=x,  тогда  KN=LM=2x

Проведем высоту BD. Она пересекет сторону прямоугольника LM  в точке  P  .

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD .

AD=6:2=3 cm

BD=6*sinA=6*sin60°=3*√3

Поскольку BD в треугольнике является осью симметрии, то KD=DN=x.

Тогда четырехугольник KLPD- квадрат со стороной х

Заметим, что треугольники ALK и ABD подобны ( по 2-м углам - LKA BDA=90°, угол А - общий.)

Из подобия ALK и ABD следует:

AK/AD=LK/BD

AK=AD-KD=3-x    

(3-x)/3=x/(3*√3)

3-x=x/√3

x+x/√3=3

x*(1+1/√3)=3

x=3/(1+√3/3)

x=3*3/(3+√3)

x=9/(3+√3)

Тогда площадь искомого прямоугольника:

S=x*2x=2*x²=2*81/(9+3+6√3)=2*81/(12+6√3)

S=27/(2+√3)= 27*(2-√3)/((2+√3)*(2-√3))=

(54-27√3)/(4-3)= 54-27√3   cm2