Основанием пирамиды служит ромб со стороной см и острым углом 30. две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом 45. найдите площадь полной поверхности призмы.

Треугольники АВ1В и АА1В прямоугольные с общей гипотенузой АВ, значит оба они вписаны в одну окружность с диаметром АВ.
Точка О - центр окружности. АО=ВО=АВ/2=4/2=2.
В тр-ке АА1В1 ОА1=ОВ1=R=2.
По теореме косинусов cos(А1ОВ1)=(ОА1²+ОВ1²-А1В1²)/(2·ОА1·ОВ1)= (2²+2²-(2√3)²)/(2·2·2)=-4/8=-1/2.
∠А1ОВ1=arccos(-1/2)=120°.
Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают. В нашем случае АС и ВС - секущие, значит:
∠АСВ=(∩АВ-∩А1В1)/2=(180°-120°)/2=30° - это ответ. 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник (с катетами a, b и гипотенузой c) окружности равен r=(a+b-c)/2.
Следовательно, нам надо найти катеты треугольника, поскольку гипотенуза нам известна.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит ее на отрезки так, что квадрат высоты равен произведению этих отрезков.
В нашем случае высота ВН=√(АН*НС)=√(16*9)=12см.
Тогда из прямоугольных треугольников АВН и СВН по Пифагору находим катеты АВ=√(ВН²+АН²)=√(144+256)=20см.
ВС=√(ВН²+СН²)=√(144+81)=15см.
По формуле радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности имеем:
r=(a+b-c)/2, где а,b - катет с - гипотенуза.
В нашем случае r=(20+15-25)/2=5см.
Тогда площадь вписанной окружности равна S=πR²=25π см²
ответ: S=25π см².