На сторонах `PQ`, `QR`, `RS`, `SP`  квадрата `PQRS` взяты, соответственно, точки `A`, `B`, `C`, `D`, такие, что `PA:AQ = QB:BR = RC:CS = SD:DP`. Докажите, что `ABCD` – квадрат.

Так как PQRS — квадрат, PQ = QR = RS = SP ⇒ PA = QB = RC = SD, AQ = BR = CS = DP; ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°.

Прямоугольные треугольники APD, BQA, CRB, DSC равны по двум катетам ⇒ AB = BC = CD = DA ⇒ ABCD — ромб; ∠PDA = ∠QAB, ∠PDA + ∠PAD = 90° ⇒ ∠QAB + ∠PAD = 90° ⇒ ∠DAB = 180° - (∠QAB + ∠PAD) = 90°.

В ромбе ABCD ∠A = ∠C = 90°, ∠B = ∠D = 180° - 90° = 90°. AB = BC = CD = DA, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° ⇒ ABCD — квадрат.