Два угла треугольника равны 40° и 52°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.
- - -
Дано :ΔАВС.
∠А = 40°.
∠В = 52°.
ВН₁ и АН₂ - высоты.
Точка О - ортоцентр (точка пересечения высот).
Найти :∠АОВ = ? (или ∠Н₁ОН₂, не важно, так как они равны как вертикальные).
Решение :Немного о расположении ортоцентра О :
Для начала найдём ∠С.
По теореме о сумме углов треугольника -
∠А + ∠В + ∠С = 180°
∠С = 180° - ∠А - ∠В
∠С = 180° - 40° - 52°
∠С = 88°.
Так как все углы ΔАВС - острые, то ортоцентр О лежит внутри ΔАВС.
- - -
Рассмотрим ΔСВН₁ - прямоугольный (так как ∠ВН₁С = 90° по определению высоты треугольника).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.Тогда -
∠Н₁СВ + ∠Н₁ВС = 90°
∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ
∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ
∠Н₁ВС = 90° - 88°
∠Н₁ВС = 2°.
Теперь рассмотрим ΔОВН₂ - прямоугольный (так как ∠ОН₂В = 90°).
По выше сказанному -
∠ВОН₂ + ∠ОВН₂ = 90°
∠ВОН₂ = 90° - ∠ОВН₂
∠ВОН₂ = 90° - 2°
∠ВОН₂ = 88°.
- - -
∠ВОН₂ и ∠АОВ - смежные.
Сумма смежных углов равна 180°.Следовательно -
∠ВОН₂ + ∠АОВ = 180°
∠АОВ = 180° - ∠ВОН₂
∠АОВ = 180° - 88°
∠АОВ = 92°.
ответ :92°.
Ясно, что сторона большого квадрата равна √49=7/см/, и если рассмотреть верхний левый треугольник, в котором гипотенуза АВ равна 5см, введя переменную х- пусть это будет меньший катет, тода больший катет равен (7-х),по теореме Пифагора
х²+(7-х)²=25; х²+х²-14х+49=25; 2х²-14х+24=0; х²-7х+12=0; По Виета х=3 или х=4, т.е. если один катет 3см, то второй 4см, и наоборот.
А это и есть стороны тех четырех прямоугольников, зная площадь одного, найдя площадь четырех и от площади квадрата отняв полученную площадь, найдем площадь маленького квадрата
Она равна 49-4*4*3=49-48=1/см²/
ответ 1см²
