Серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС являются точки N (3;–1) и M (–4;3) соответственно. Найдите координаты вершин В и С треугольника АВС, если А (5;3) и длину средней линии MN.

Пусть M - точка пересечения BE и AD.
В треугольнике BAD биссектриса перпендикулярна стороне, то есть AB = BD; (и между прочим, AM = MD), поскольку D - середина BC, то BC = 2*AB; отсюда по свойству биссектрисы AE/EC = AB/BC = 1/2; то есть EC = 2*AE;
Дальше можно действовать двумя Если известны теоремы Чевы и Ван-Обеля,  то быстро находится BM/ME = 3; второй это показать - надо провести через точку E прямую II BC, до пересечения с AD в точке K;
Ясно, что AK/KD = AE/EC = 1/2; откуда KM = AD/2 - AD/3 = AD/6, и KM/MD = 1/3; из подобия треугольников KME и BMD следует BM = 3*ME;
Теперь есть все, чтобы найти стороны. AM = 84; BM = 126; ME = 42;
из прямоугольного треугольника  AMB легко находится AB = 42√13;
из AME  => AE = 42√5;
BC = 2*AB = 84√13;
AC = 3*AE = 126√5;

1. Зададимся высотой параллелепипеда Н. 
2. Запишем по т. Пифагора соотношение между соответствующей диагональю основания , высотой Н и диагональю параллелепипеда и определим от сюда зависимоть квадрата высоты параллелепипеда от суммы квадратов диагоналей основания.
3. Запишем соотношение квадратов сторон и диагоналей основания. И найдем от сюда величину суммы квадратов диагоналей. 
4. Подставим величину суммы квадратов диагоналей в выражение по п. 2 и найдем высоту параллелепипеда. 
5. Зная высоту параллелепипеда найдем диагонали основания. 
6. Зная стороны и диагонали основания, найдем площадь основания. 
7. Зная площадь основания и высоты параллелепипеда найдем объем.