Рассмотрим ∆АВD.
P – середина АВ по условию;
Т – середина АD по условию;
Следовательно РТ – средняя линия ∆ABD. Средняя линия треугольника вдвое меньше стороны треугольника, которой она параллельна.
PT//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда РТ=0,5*BD=0,5*8=4 см
Рассмотрим ∆BCD.
Q – середина СВ по условию;
R – середина CD по условию;
Следовательно QR – средняя линия ∆BCD. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна.
QR//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда QR=0,5*BD=0,5*8=4 см.
PT//BD и QR//BD => РТ//QR.
РТ=4 см; QR=4 см => РТ=QR.
Тогда получим что, две противоположные стороны четырехугольника PQRT параллельны и равны, следовательно четырехугольник PQRT – параллелограмм.
Рассмотрим ∆PBQ u ∆ABC.
Угол АВС – общий;
Так как точка Р – середина АВ, то РВ равна половине АВ
Следовательно РВ/АВ=1/2;
Так как точка Q – середина СВ, то QB равно половине СВ
Тогда QB/CB=1/2;
Исходя из найденного, ∆PBQ~∆ABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, а коэффициент подобия треугольников 1/2.
Следовательно PQ/AC=1/2;
2/AC=1/2;
AC=2*2
AC=4 см.
ответ: Параллелограмм; РТ=4 см; АС=4 см.
Построение сводится к проведению перпендикуляра из точки к прямой.
Из вершины А, как из центра, раствором циркуля, равным АС, делаем насечку на стороне ВС. Обозначим эту точку К.
∆ КАС- равнобедренный с равными сторонами АК=АС.
Разделив КС пополам, получим точку М, в которой медиана ∆ КАС пересекается с основанием КС. Т.к. в равнобедренном треугольнике медиана=биссектриса=высота, отрезок АМ будет искомой высотой.
Для этого из точек К и С, как из центра, одним и тем же раствором циркуля ( больше половины КС) проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения с А.
Отрезок АМ разделил КС пополам и является искомой высотой ∆ АВС из вершины угла А.
