а) Доказательство:
АВ = ВМ, по условию, значит треугольник АВМ - равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника угол ВАМ = углу ВМА.
По свойству параллелограмма ВС параллельно АD, АС - секущая, значит угол АМВ = углу МАD, из вышесказанного следует, что угол ВАМ = углу МАD, значит АМ - биссектрисса
б) Решение:
АВ = СD по свойству параллелограмма,а АВ = ВМ из доказательства. Значит АВ = ВМ = СD = 8 см
МС = 4 по условию. ВС = ВМ + МС = 8 + 4 = 12. По свойству параллелограмма ВС = АD = 12
теперь можем найти площадь: Р = АВ + ВС + СD + DА = 8 + 12 + 8 + 12 = 40 см
А ничего хорошего не получится всего это решать с векторных методов.
Надо найти угол между векторами ВА = (1,8) и CD = (7,1) (я перевернул чертеж, или- если хотите, перечислил вершины против часовой стрелки, на ответ это не влияет)
Модули равны
ВА = корень(65); CD = корень(50);
скалярное произведение
(ВА,CD) = 1*7 + 8*1 = 15;
cos(AMD) = 15/корень(65*50) = 3/корень(130);
Это почти 75 градусов (точнее 74,7448812969422)
можете жаловаться :)))
Могу предложить решение и без векторов. Дело в том, что если из точки D провести прямую II CB, отложить на ней отрезок, равный СВ (пусть получилась точка D1) и соединить D1 и В, то CDD1B - параллелограмм. Поэтому угол АМD = угол АВD1, и нам достаточно найти AD1. Но если мы теперь опустим перпендикуляр на АО (точка К) из точки D1, то по построению точки D1 имеем АК = 7, КD1 = 6, АD1 = корень(7^2 + 6^2) = корень(85);
АВ и ВD1 мы уже знаем ВА = корень(65); BD1 = CD = корень(50);
Осталось только вычислить угол при между сторонами
корень(65) и корень(50), если третья сторона корень(85);
Первое, что можно сделать - сократить все стороны на равное число (преобразование подобия не меняет углы), делим все на корень(5)
имеем
корень(13) и корень(10), если третья сторона корень(17);
по теореме косинусов
17 = 13 + 10 - 2*корень(130)*cos(Ф); cos(Ф) = 3/корень(130)
удивительно похоже на предыдущий ответ :
