Плоскости а и В имеют общую точку -А, тогда по аксиоме С2 плоскости пересекаются по прямой⇒ точки А, В и С лежат на прямой пересечения плоскостей

Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота в правильном треугольнике АВС. То есть
АН⊥ВС.
СС₁⊥(АВС), значит АН⊥СС₁.
АН перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости (ВСС₁), значит АН⊥(ВСС₁).

Проведем КТ║АН.
Тогда КТ⊥(ВСС₁).

Плоскость (С₁КТ) проходит через прямую КТ, перпендикулярную (ВСС₁), значит (С₁КТ)⊥(ВСС₁).
С₁КТ - искомое сечение.

С₁Т - проекция С₁К на плоскость (ВСС₁), значит ∠КС₁Т - угол между прямой С₁К и плоскостью (ВСС₁).
∠КС₁Т - искомый. Обозначим его α.

ΔАВС: АН = АВ√3/2 = 4√3/2 = 2√3 как высота равностороннего треугольника.
КТ = АН/2 = √3 как средняя линия ΔАСН.

ΔСС₁К: по теореме Пифагора
               С₁К = √(СС₁² + КС²) = √(6 + 4) = √10

ΔС₁КТ: КТ - перпендикуляр к плоскости (ВСС₁), прямая С₁Т лежит в этой плоскости, значит КТ⊥С₁Т. Треугольник прямоугольный.

sinα = KT/C₁K = √3/√10
cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 3/10) = √(7/10) = √70/10

25.

Отношения проекций такова: 9:16.

Тоесть их переменные таковы: AD = 9x; DB = 16x.

Пара наклонных имеет один общий перпендикуляр, или один общий катет (CD).

Формула вычисления катета CD (по теореме Пифагора), зная гипотенузу AC, и катет AD:

Формула вычисления катета CD, зная гипотенузу BC, и катет DB:

Объявим катет CD — как переменную "y",  составим систему:

Как мы видим — x равен 5-и, тоесть каждая проекция будет больше гипотенузы, так не пойдёт.

Но если в уравнении есть цифры в квадратах (например — x²), то определение переменных имеет 2 вида: цифра или отрицательная, или положительная, чтобы найти правильный вариант — надо решить уравнение ещё раз, но только уже с известными двумя типами.

Как видим, x — не может быть равен 5-и, что и означает, что он равен       -5-и.

Убедимся в этом:

Ни в коем случае не считаем 16x & 9x — как абсолютные длины проекций, ведь если AD = 9x, то: AD = -5*9 = -45.

А если с цифрой -45, и перпендикуляром 25 — попробовать найти гипотенузу(), то ничего не получится.

//Это точно правильный ответ — посчитав сама, и даже проверив онлайн калькуляторами.

Вывод: x = -5; CD = 25.

29.

Углы, образующийся наклонными, и прямой: <ADB = 30°; <ACB = 60°.

Теорема о 30-градусном угле прямоугольного треугольника такова: катет, противолежащий углу 30-градусов в прямоугольном треугольнике — равен половине гипотенузы.

Против угла ADB — лежит расстояние между точкой A — до прямой, тоесть перпендикуляр, та же высота, тот же катет AB.

Тоесть: AB = AD/2 ⇒ AD = AB*2 = 32.

<ACB = 60° => <CAB = 90-60 = 30°.

Та жа теорема: <CAB = 30° => CB = CA/2.

По теореме Пифагора:

Так как катет AB — равен половине гипотенузы, то объявим обе неизвесные числа, как переменная "x":

Вывод: AD = 32; AC = 18.5.