Ортоцентр H треугольника ABC отразили относительно сторон и получили точки A₁, B₁ и C₁. Найдите углы треугольника A′B′C′, если ∠A=50∘, ∠B=75∘.
Объяснение:
По свойству ортоцентра : "Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности". Значит все точки А, В, С,A₁, B₁ , C₁-лежат на окружности.
1)ΔАВМ -прямоугольный ,∠А=50°⇒ ∠АВМ=90°-50°=40° . Значит ∠МВС=75°-40°=35° .Поэтому дуги ∪ АВ₁=80° и ∪ В₁С=70° по т. о вписанном угле.
2)ΔАСР -прямоугольный ,∠А=50°⇒ ∠АСР=90°-50°=40° . Значит ∠РСВ=55°-40°=15° .Поэтому дуги ∪ АС₁=80° и ∪ С₁В=30° по т. о вписанном угле.
3)ΔАВК -прямоугольный ,∠В=75°⇒ ∠ВАК=90°-75°=15° . Значит ∠САК=50°-15°=35° .Поэтому дуги ∪ СА₁=70° и ∪ А₁В=30° по т. о вписанном угле.
)ΔА₁В₁С₁ , по т. о вписанном угле : ∠А₁=1/2*(80°+80)°=80° ,∠В₁=1/2*(30°+30)°=30° , ∠С₁=1/2*(70°+70)°=70°.
Первый случай, все три прямые могут совпасть в одну не годится т.к. по условию есть пересекающиеся.
Второй случай, две прямые совпали, а третья их пересекает в одной точке, тогда 4 части.
Третий случай, все три прямые пересекаются в одной точке, тогда 6 частей.
Четвёртый случай, каждая прямая пересекает другие две в различных точках, тогда 7 частей.
Пятый случай, две прямые параллельные, а третья пересекает каждую из параллельных, тогда 6 частей.
Шестой случай, две прямые параллельные, а третья совпадает с одной из них не годится т.к. по условию есть пересекающиеся.
Седьмой случай когда все три прямые параллельны не годится т.к. по условию есть пересекающиеся.
ответ: на 4, 6 или 7 частей.
