Точка M, равноудалена от вершин треугольника ABC, поэтому она лежит на перпендикуляре к (ABC), который восстановлен из центра (O) описанной около ΔABC окружности. Треугольник со сторонами 6, 8, 10 является египетским (10²=6²+8²), поэтому ∠B=90°, а значит центр описанной лежит на середине AC. И её радиус равен AC:2=10:2=5.
Как было сказано ранее MO⊥(ABC).
Рассмотри прямоугольный ΔAOM (∠O=90°): AO=5; AM=13. Найдём второй катет MO (расстояние от M до α) по теореме Пифагора (хотя тут опять Пифагорова тройка 5, 12, 13).
MO=√(13²-5²) = √((13+5)(13-5)) = √(18·8) = √(3²·4²) = 12
ответ: 12.
В ∆ АВС стороны АВ=ВС, ВК - биссектриса.
Рассмотрим ∆ АВК и ∆ СВК.
АВ=ВС, ВК - общая, угол АВК=СВК. ⇒ Треугольники равны по первому признаку: по двум сторонам и углу, заключенному между ними.
Из равенства треугольников ∆ АВК и ∆ СВК следует МК=СК⇒
ВК - медиана ∆ АВС.
В равных треугольниках углы, противолежащие равным сторонам, равны. ⇒
∠ВКА=∠ВКС
АКС – развернутый угол и равен 180°.
ВК делит его на два равных с градусной мерой 180°:2=90° ⇒
ВК⊥АС и является высотой равнобедренного треугольника АВС.
