На прямой последовательно отметили точки А, В, С и D так , что расстояние между двумя любыми соседними точками равно 1 см. На данной прямой найдите все точки Х, чтобы сумма |XA|+|XB|+|XC|+|XD| принимала наименьшее значение.

8 см

Объяснение:

Пусть дан треугольник АВС.  АС=30см.  Обозначим точки касания вписанной окружности и сторон треугольника АС,  АВ и ВС соответственно К, Т, Р.

Тогда по условию задачи ВТ=12 см и АТ=14 см

Тогда АТ=АК= 14 см

КС= АС-АК=30-14=16 см

КС=РС=16 см

ВР=ВТ=12 см

Тогда АВ=АТ+ВТ=12+14=26 см, ВС =ВР+РС=12+16=28 см

Тогда периметр Р= 26+28+30=84 см

Тогда полупериметр р=Р:2=84:2=42

Тогда площадь треугольника по теореме Герона

S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))= sqrt(42*12*14*16)=336

С другой стороны площадь треугольника может быть вычислена по формуле S=p*r=42*r=336

=> r=336/42

r=8

Проведем радиусы от центра окружности О до точек касания В и С. И соедини центр окружности с точкой А.
рассмотрим получившиеся треугольники АВО и АСО, в них:
угол АВО = угол АСО = 90 гр. (св-во касательных) , следовательно, треугольники АВО и АСО прямоугольные. А чтобы доказать равенство двух прямоуг. треуг-ов достаточно найти 2 равных элемента:
- катет ОВ = катет ОС (радиусы окружности)
- ОА - общ. гипотенуза
из этого следует, что треугольники равны, следовательно все элементы этих треуг-ов равны. а следовательно равны и катеты АС и АВ
ч. т. д.