у чотирьокутника послідовно з'єднані середини сторін. З утвореним з нього чотирикутником зроблено теж саме. Виявилось, що отриманий чотирьохкутник ромб. Доведіть, що діагоналі початкового чотирикутника перпендикулярні.

у - х = 0, у + х = 0, у - 2х + 4 = 0

y = x, y = - x, y = 2x - 4

Пусть прямые у = х и у = 2х - 4 пересекаются в точке А,

а прямые у = - х и у = 2х - 4 - в точке В.

Прямые у = х и у = - х пересекаются в начале координат и взаимно перпендикулярны.

Найдем координаты точки А:

у = х

у = 2х - 4

2x - 4 = x

x = 4

y = 4

A(4 ; 4)

Найдем координаты точки В:

у = - х

у = 2х - 4

2x - 4 = - x

3x = 4

x = 4/3

y = - 4/3

B(4/3; - 4/3)

AO = √(4² + 4²) = √32 = 4√2

BO = √((4/3)² + (4/3)²) = √(16/9 + 16/9) = √(32/9) = 4√2/3

Saob = 1/2 AO · BO = 1/2 · 4√2 · 4√2/3 = 16/3

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна сумме площадей шести правильных треугольников со сторонами, равными радиусу этой окружности. Тогда площадь одного треугольника равна D/6. По формуле эта площадь равна (√3/4)*a², где а=R.
Следовательно, √3*R²/4=D/6  => R²=2D√3/9.
R=√(2D√3)/3
По Пифагору квадрат диагонали вписанного квадрата равен
(2R)²=2а², где а - сторона квадрата.
а=2R/√2 = R√2,  а площадь - S= а² =2R² .
Подставим найденное значение R, тогда
сторона вписанного квадрата:
а=√(2D√3/9)*√2=√(4D√3)/3.
площадь вписанного квадрата:
S=a²= 4D√3/9.