Дві сторони трикутника дорівнюють 2,8см і 4,1см. Якому цілому числу сантиметрів НЕ може дорівнювати третя сторона трикутника? а) 2см б)4см в) 6см г)9см​

Дано: равнобедренная трапеция АВСД
          АВ = СД = 4см
          ∠А = ∠С = 60°
          ВД - диагональ трапеции
          АВ ⊥ ВД

Р = ?
         Решение:
∠А = 60° (по условию)
∠АВД = 90° (по условию)  ⇒ Δ АВД - прямоугольный
⇒ ∠АДВ = 180 - 90 - 60 = 30°
АВ лежит против угла 30°, значит равно 1/2 гипотенузы АД
⇒ АД = 4 * 2 = 8 (см)
Рассмтрим Δ ВСД
∠С = 180° - ∠Д = 180° - 60° = 120°
∠СВД = 120° - ∠АВД = 120° - 90° = 30°
⇒ ∠ВДС = 180° - 120° - 30° = 30°
⇒ ΔВСД - равнобедренный (∠СВД = ∠ ВДС = 30°)
⇒ ВС = СД = 4 (см)
Р трапеции = 4 + 4 + 4 + 8 = 20 (см)
ответ: Р = 20 см.

Пусть О - центр вписанной окружности.

r - радиус вписанной окружности.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому

CD = CE = r

BD = BF = 6 - r

Так как гипотенуза в 5 раз больше радиуса вписанной окружности, то

АВ = 5r

AF = AB - BF = 5r - (6 - r) = 6r - 6

AE = AF = 6r - 6

Учитывая, что АВ = 5r, BC = 6 и AC = r + 6r - 6 = 7r - 6, по теореме Пифагора составим уравнение:

АВ² = BC² + AC²

25r² = 36 + (7r - 6)²

25r² = 36 + 49r² - 84r + 36

24r² - 84r + 72 = 0

2r² - 7r + 6 = 0

D = 49 - 48 = 1

r = (7 + 1)/4 = 2                или                    r = (7 - 1)/4 = 3/2

AC = 7 · 2 - 6 = 8                                        AC = 7 · 3/2 - 6 = 10,5 - 6 = 4,5

Так как ВС меньший катет по условию, то

r = 2, AC = 8, AB = 10.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Пусть К - середина гипотенузы. Тогда ОК - искомый отрезок.

Поместим треугольник в прямоугольную систему координат (как на рисунке).

Тогда центр вписанной окружности имеет координаты:

О(2 ; 2),

а центр описанной окружности:

К((8 + 0)/2 ; (6 + 0)/2 ) (координаты середины отрезка равны полусумме координат его концов)

К(4 ; 3)

Найдем длину отрезка через координаты его концов:

ОК² = (2 - 4)² + (2 - 3)² = 4 + 1 = 5

ОК = √5