Дан треугольник АВС. Плоскость, пересекая стороны АС и ВС треугольника АВС соответственно в точках А1 и В1, делит их в отношении АА1:А1С= ВВ1:В1С=3:4 .Найдите АВ, если А1В1=20 см

Окружность вписанная. 

Центром вписанной в треугольник окружности является  точка пересечения биссектрис углов треугольника. 
Если точка пересечения биссектрис и точка пересечения медиан совпадают, то медианы треугольника являются и его биссектрисами. 
Следовательно, данный треугольник - равносторонний. 
Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины. 
Прямая , параллельная стороне треугольника и равная 2 см, делит его на подобные треугольники с коэффициентом подобия 3:2 (вся медиана - 3 части, от вершины до точки пересечения медиан- 2 части, следовательно, и k=3:2)
Тогда таким же будет и отношение сторон всего треугольника к сторонам отсекаемого, т.е. к длине отрезка, на котором лежит центр окружности. 
Обозначим сторону треугольника а. 
а:2=3:2
2а=6
а=3 см
Периметр - сумма длин всех трех сторон треугольника. 
Р=3•3=9 cм
----------
Если не прямая, на которой лежит центр окружности, равна 2 см, а сторона треугольника, тогда, естественно, периметр равен 6 см. Главное - определить, что треугольник равносторонний. 

Призма - правильная четырехугольная. в основании её - квадрат. диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°. значит, диагональ квадрата - основания и высота призмы - катеты равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой - диагональю призмы. длина этой гипотенузы дана в условии - 4 см пусть х - катеты этого треугольника 4=х√2 х=4: √2=4√2: (√2*√2)=2√2 диагональ основания квадрата =2√2 высота призмы =2√2 основание цилиндра - круг, ограниченный вписанной в квадрат окружностью. радиус этой окружности равен половине стороны квадрата - основания призмы. найдем эту сторону из формулы диагонали квадрата: d=а√2 мы нашли d=2√2, значит сторона квадрата а=2 r= 2: 2=1 имеем цилиндр, высота которого по условию равна высоте призмы и равна 2√2, радиус основания цилиндра, найденный в процессе решения r =1 площадь боковой поверхности цилинда равна произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. s =2πr*h= 2π*2√2 см²=4π√2 см²