Сумма углов выпуклого n-угольника и одного из его внешних углов равен 990°. Найдите n.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. Сумма одного внутреннего и внешнего угла при нем равна развернутому углу, т.е. 180°. Тогда на долю остальных n' = (n-1) углов данного многоугольника приходится 990°-180°=810°. Найдем количество n' остальных углов. 810°:n'=180°(n'-2):n';, откуда n'=6. А с углом. который мы вычли, число углов (и, естественно, сторон) данного многоугольника равно 7.
Или: Формула суммы углов выпуклого n-угольника 180°(n-2). Сумма всех внешних углов многоугольника 360°. Предположим, что этот многоугольник правильный. Тогда величина внешнего угла 360°:n. Составим уравнение: 180°(n-2)+360°/n=990°. Сократим для удобства все члены уравнения на 90 и умножим их на n , после чего соберем все его члены по одну сторону и получим квадратное уравнение 2n²-15n+4=0. Корни этого уравнения ≈ 7,54 и ≈0,25. Число сторон многоугольника не бывает дробным. Пусть n=7. Тогда сумма внутренних углов семиугольника 180°•5=900°, а добавленный к ней внешний угол 990°-900°=90°. Смежный с ним внутренний может быть равен только 90°. Данный многоугольник не является правильным, его углы могут иметь разную величину, но их сумма будет 900°. ( Например, 6 углов будут по (900°-90°):6=135°, а седьмой равен 90°, а их сумма 6•135°+90°=900°). ответ: n=7
