а) В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы противолежащих сторон равны. Все стороны ромба равны, суммы противолежащих сторон равны - в любой ромб можно вписать окружность.
Центр вписанной окружности - пересечение биссектрис. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, центр вписанной окружности ромба - пересечения диагоналей (O).
Диагонали ромба перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам. Треугольник ABO - египетский
AO=AC/2=4, BO=BD/2=3 => AB=5
OH - высота, проведенная из прямого угла
r= OH= AO*BO/AB =4*3/5 =2,4
(Расстояние от центра окружности до касательной - радиус.)
б) Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма противолежащих углов равна 180. В ромбе противолежащие углы равны. Если их сумма 180, то углы прямые и ромб является квадратом. Данный ромб не является квадратом, так как его диагонали не равны. Следовательно около него нельзя описать окружность.
в) BCD - равнобедренный остроугольный. (BD=DC, стороны ромба. Данный ромб не является квадратом, угол BDC - острый.)
г) Синус угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к гипотенузе.
В треугольнике ABO
sin(ABO)= AO/AB =4/5
а) Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. ∠MAB - вписанный, ∠MOB - центральный, оба опираются на дугу MB.
∠MOB=2∠MAB =40° *2 =80°
∠MOB - равнобедренный (OM=OB, радиусы)
∠OMB=∠OBM =(180°-∠MOB)/2 =50°
б) Угловая величина дуги равна опирающемуся на неё центральному углу.
∪MB=∠MOB =80°
∪AB=∠AOB =180° (∠AOB - развернутый угол. Диаметр делит окружность на две равные дуги.)
∪AM=∪AB-∪MB =180°-80° =100°
∪MB < ∪AM < ∪AB
в) Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Вписанный угол AMB опирается на диаметр AB, а значит на дугу 180°.
∠AMB=180°/2 =90° (Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой)
AM⊥MB
