Имеем 3 точки, две из которых лежат на отрезке, а одна не лежит на нем.
Это точки А, В, D.
Через три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, притом только одну. (Аксиома).
Точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.
Значит, и точка Е, как лежащая на прямой АD, лежит в этой плоскости.
Точки В и Е принадлежат обеим плоскостям, значит, эти плоскости пересекаются по прямой ВЕ.
Прямая ВЕ - линия пересечения плоскости α и плоскости ЕАВ, СD || плоскости α по условию.
Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения этих плоскостей. ⇒
CD || ВЕ, отрезки АЕ и АВ секущие при этих параллельных прямых.
По свойству углов при параллельных прямых и секущей
в треугольниках АDС и АВЕ ∠АСD =∠ АВЕ и ∠АDС=∠АЕВ как соответственные, угол А - общий. ⇒
∆ АDС ~∆ АВЕ по первому признаку подобия треугольников. .
Из подобия треугольников следует:
ВЕ:СD=АВ:АС
Пусть коэффициент отношения АВ и ВС равен х.
Т.к. АВ:СВ=4:3, то
АС=4х-3х=1х
ВЕ:12=4:1 ⇒
ВЕ=48 см
Пусть AC=x, тогда в ΔABC по формуле Герона:
Решим квадратное уравнение относительно x².
Далее немного вычислений, и зная, что x>0, как сторона треугольника, получим:
Пусть KL=a, KN=b.
Рассмотрим случай, когда AC=44.
В ΔABC по теореме косинусов:
По формуле связи косинуса и тангенса:
В прямоугольных треугольниках AKL и CNM выразим AK и CN через a, основываясь на определении тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.
AK=8a/15; CN=12a/5
AC=AK+KN+NC=(44a/15)+b=44
P(KLMN)=2a+2b=59
Составим систему и определим S(KLMN)=ab
b=(59-15)/2=22
ab=7,5·22=165
Теперь всё тоже самое только AC=2√421.
В ΔABC по теореме косинусов:
По формуле связи косинуса и тангенса:
AK=113a/330; CN=243a/110
AC=AK+KN+NC=(421a/330)+b=2√421
P(KLMN)=2a+2b=59
Заметим, что проекция AB на AC равна AB·cosA=113/√421
Получается, что AK=
> 113/√421.
Таким образом при АС=2√421 картинка другая, которая не удовлетворяет условию задачи.
ответ: 165.
