Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 18. Точка Q -середина ребра A1B1. Постройте сечение призмы плоскостью ACQ и найдите его периметр. Представьте найденный периметр в виде P = a+b√c, где c - простое число, и в ответе запишите значение числа a+b+c. ​

Для построения сечения призмы плоскостью ACQ нам нужно нарисовать треугольник ACQ на основании ABCA1B1C1. Затем найдем периметр полученного треугольника.

Шаг 1: Вспомним свойства правильной треугольной призмы. У нее есть два равнобедренных треугольника ABC и A1B1C1 на основаниях ABC и A1B1C1 соответственно.

Шаг 2: Так как это правильная призма, все ее ребра равны 18. Поэтому стороны треугольников ABC и A1B1C1 равны 18.

Шаг 3: Найдем координаты точек A, B, C, A1, B1, C1. Поскольку это правильная треугольная призма, она симметрична относительно оси OZ. Поэтому координаты точек A, B, C, A1, B1, C1 будут:

A(9, 0, 0), B(-9/2, -9√3/2, 0), C(-9/2, 9√3/2, 0),
A1(9, 0, 18), B1(-9/2, -9√3/2, 18), C1(-9/2, 9√3/2, 18).

Шаг 4: Теперь построим плоскость ACQ. Для этого найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A, C и Q.

Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормаль к плоскости.

В качестве (A, B, C) можно взять векторное произведение направляющих векторов AC и AQ.

AC = C - A = (-9/2, 9√3/2, 0) - (9, 0, 0) = (-27/2, 9√3/2, 0),
AQ = Q - A = (-27/4, 9√3/4, 9) - (9, 0, 0) = (-45/4, 9√3/4, 9).

Теперь найдем векторное произведение: (A, B, C) = AC × AQ.

(A, B, C) = (-27/2, 9√3/2, 0) × (-45/4, 9√3/4, 9).

Используя правило для вычисления векторного произведения, получаем:

(A, B, C) = (-9√3, -243/4, 405/4).

Затем найдем D, подставив координаты точки A (-9, 0, 0) в уравнение плоскости:

-9 * (-9√3) + 0 * (-243/4) + 0 * (405/4) + D = 0,
81√3 + D = 0,
D = -81√3.

Таким образом, уравнение плоскости ACQ имеет вид:

-9√3x - (243/4)y + (405/4)z - 81√3 = 0.

Шаг 5: Построим треугольник ACQ на основании ABCA1B1C1. Для этого найдем точки пересечения плоскости ACQ с ребрами треугольника ABC.

Найдем точку пересечения ACQ и ребра AB. Возьмем уравнение плоскости ACQ и подставим в него координаты точек A и B:

-9√3x - (243/4)y + (405/4)z - 81√3 = 0,

-9√3 * 9 + (243/4) * 0 + (405/4) * 0 - 81√3 = 0,
-81√3 - 81√3 = 0,
-162√3 = 0.

Точка пересечения ACQ и ребра AB будет иметь координаты (-9, 0, 0).

Аналогично найдем точки пересечения ACQ с ребрами BC и CA:

Точка пересечения ACQ и ребра BC: (0, -9√3, 0).
Точка пересечения ACQ и ребра CA: (-9/2, 9√3/2, 0).

Теперь, зная координаты трех вершин треугольника ACQ, мы можем найти его периметр.

Шаг 6: Найдем длину каждой стороны треугольника ACQ для вычисления периметра.

AC = √( (0 - 0)^2 + (-9√3 - (9√3/2))^2 + (0 - 0)^2 ),
AC = √(0 + (9√3/2)^2 + 0),
AC = √(0 + 81/4 + 0),
AC = √(81/4),
AC = 9/2.

AQ = √( (0 - (-9))^2 + (-9√3 - 0)^2 + (0 - 9)^2 ),
AQ = √(81 + 243 + 81),
AQ = √(405),
AQ = 9√5.

CQ = √( (0 - (-9/2))^2 + (-9√3 - (9√3/2))^2 + (0 - 0)^2 ),
CQ = √((9/2)^2 + (9√3/2)^2 + 0),
CQ = √(81/4 + 81/4 + 0),
CQ = √(81/2),
CQ = 9/√2.

Шаг 7: Теперь, вычислив длины всех сторон треугольника ACQ, мы можем вычислить его периметр:

P = AC + AQ + CQ,
P = 9/2 + 9√5 + 9/√2.

Шаг 8: Приведем полученный периметр к виду P = a + b√c.

P = 9/2 + 9√5 + 9/√2,
P = 9/2 + 9√5 + 9√2/2,
P = 9/2 + 9(√5 + √2)/2.

Таким образом, a = 9/2, b = 9/2 и c = 5.

Итак, значение числа a + b + c равно:

a + b + c = 9/2 + 9/2 + 5 = 9 + 5 = 14.