Дано трикутник АВС. Площина, паралельна прямій АВ1 перетинае сторону АС цього трикутника в точці А1, стоpону ВС - у точці В. Знайдіть довжину відрізка АВ якщо АВ =15 см, АА1 : АC= 2:3.

пусть AB=26, а BC=32, а угол ABC=150 градусов. тогда, рассмотрим треугольник ABC:

по теореме косинусов AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cosABC

потом рассмотришь треугольник BDC, в котором угол BCD=30 градусов (сумма соседних углов в паралеллограмме равна 180 градусам)

по теореме косинусов BD^2=CD^2+BC^2-2*CD*BC*cosBCD

потом из треугольника BOC опять же по теореме косинусов находишь косинус угла BOC

по основному тригонометрическому тождеству (sin^2(x) + cos^2(x)=1) находишь синус угла BOC

потом применяешь формулу площади параллелограмма: S=1/2*BD*AC*sinBOC

В трапеции АРСD    средняя линия равна полусумме оснований.
Значит, РС+AD=2·15
РС+25=30
РС=5 

ВС=ВР+РС
25=ВР+5
ВР=25-5=20

∠PAD=∠BPA  - внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АР.
∠ВАР=∠РАD - биссектриса АР делит угол А пополам.

Значит ∠BPA  =∠ВАР  и треугольник АВР - равнобедренный АВ=ВР=20

Противоположные стороны параллелограмма равны   CD=AB=20

Из треугольника АСD  по теореме косинусов:
АС²=AD²+DC²-2·AD·DC·cos ∠D    
(5√46)²=25²+20²-2·25·20·cos ∠D 
1150=625+400-1000·cos ∠D 

cos ∠D =-0,125

Противоположные углы параллелограмма равны
∠В=∠D

Из треугольника АBP по теореме косинусов:
АP²=AB²+BP²-2·AB·BP·cos ∠B
АP²=20²+20²-2·20·20·(-0,125)

АP²=400+400+100

АP²=900
AP=30

Р( трапеции АРСD)= АР+РС+СD+AD=30+5+20+25=80 


ответ. Р=80