Пусть в треугольнике ABC угол A равен a, угол C равен b, проведены биссектрисы AD и CE, которые пересекаются в точке O (см. рисунок). Рассмотрим треугольник AOC. Сумма его углов равна 180 градусам, тогда угол AOC равен 180-1/2BAC-1/2BCA=180-DAC-ECA=180-1/2(a+b). Угол, под которым пересекаются две прямые - это наименьший из углов, которые получаются при их пересечении. Докажем, что угол EOA будет меньше угла AOC, тогда угол EOA - угол, под которым пересекаются биссектрисы. Действительно, угол EOA является смежным с углом AOC, тогда он равен 1/2(a+b). Так как a+b<180, 1/2(a+b)<90 и 1/2(a+b)<180-1/2(a+b), то есть, какими бы ни были углы a и b, угол EOA всегда будет меньше угла AOC. Окончательный ответ - 1/2(a+b).
Пусть АВСD - ромб, т. О - точка пересечения его диагоналей. Рассмотрим треугольник АОВ. Он прямоугольный, т. к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По условию острые углы треугольника АОВ относятся как 2:7. Если обозначить больший острый угол АВО за Х, то меньший угол ВАО будет равен 2/7*Х. По св-ву прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 гр => Х + 2/7*Х = 90 9/7*Х = 90 | * 7/9 Х = 70 (угол АВО) => угол АВС ромба равен: АВС = 2 АВО = 2*70 =140.
