Даны вершины треугольника A(3;-2;4)B(7;3;-3) C(0;3;7) поверить является ли этот треугольник прямоугольник

Квадрат АВСД (АВ=ВС=СД=АД=10) площадь Sавсд=10²=100
СМ=МД=СД/2=5
Диагональ АС = √(АВ²+ВС²)=√2*10²=10√2
Площадь прямоугольного ΔАВС Sавс=АВ*ВС/2=10*10/2=50
Площадь прямоугольного ΔВСМ Sвсм=СМ*ВС/2=5*10/2=25
ΔАВN и ΔCNM подобны по 3 углам (<BNA=<MNC как вертикальные, <BAN=<MCN=45° (диагональ АС - биссектриса угла квадрата) и  <АВN=<СМN=180-<BAN=<BNA).
Значит AN/NC=BN/NM=AB/CM=10/5=2
ΔАВN и ΔCВN имеют общую высоту из вершины В, поэтому их площади относятся как основания АN и NС
Saвn/Scвn=AN/NC=2
Saвn=2Scвn
Saвс=Saвn+Scвn=2Scвn+Scвn=3Scвn
Scвn=Sавс/3=50/3
Saвn=100/3
Площадь Sanмд=Sавсд-Saвn-Sвсм=100-100/3-25=75-100/3=125/3=41 2/3

Пусть этот параллелограмм АВСД. 
СМ и ДМ - биссектрисы. 
АМ||СД, СМ - секущая. 
Накрестлежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Угол ВМС=углу МСД. 
Но так как  СМ биссектриса и угол МСД=ВСМ, то все эти три угла равны. Из равенства углов при основании СМ треугольника МВС следует. что этот треугольник - равнобедренный. МВ=Вс=26. 
Точно также доказывается равенство сторон АМ и АД треугольника АМД. 
Следовательно, большая сторона АВ=СД=АМ+МВ=26+26=52. 
--------
Замечу, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник  ( иногда сюда входят продолжения сторон). Это свойство биссектрисы  пригодится при решении многих задач.