Основание равнобедренной трапеции равны 15 см и 9 см. если боковые стороны удлинить на 6 см, то они пересекутся. какова длина боковой стороны?

Это не решение, а скорее ход мыслей. Гляди.

Как только боковые стороны пересекутся, трапеция превратится в равнобедренный ТРЕУГОЛЬНИК.

Далее, верхний треугольник подобен полному треугольнику.

Стороны верхнего 9 и 6 (основание и боковая сторона) 

Стороны полного 15 и (х+6)

Значит (х+6)/15 = 6/9, то есть х=4.

Вот и всё. Нарисуй чертёж и всё станет понятно.

Успехов.