Пусть Центр окружности О, диаметр АВ, С - точка касания прямой А1В1, ВВ1 перпендикулярно А1В1, АА1 II BB1 (само собой, и СО II BB1). Строим СЕ перпендикулярно АВ и продливаем до пересечения с окружностью в точке К. Ясно, что дуга СВ равна дуге ВК, поэтому углы ВСЕ и В1СВ равны - они измеряются половиной равных дуг. Поэтому прямоугольные треугольники СВ1В и СЕВ равны ,и В1В = ЕВ.
Далее, отсюда же следует, что СВ1 = СЕ, но СВ1 = СА1 (не зря я про параллельность СО, АА1 и ВВ1 упоминал :)) поэтому ТОЧКА А РАВНОУДАЛЕНА ОТ СЕ и СА1. То есть она лежит на биссектрисе угла А1СЕ, и СЕ = А1С :)) (элегантно :) я доказал равенство углов А1СА и АСЕ, не рассматривая какие-то дуги, а просто воспользовался определением биссектрисы... хотя, конечно, дуги АС и АК равны).
Итак, АА1 = АЕ, ВЕ = ВВ1.
Ну, если это сложить, получится то, что требуется в задаче.
Если отобразить А1В1ВА симметрично относительно А1В1, то получится равнобедренная трапеция, у которой ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ лежит в точке С.
*-градус
В треугольнике АВС угол А=30*, угол В=90*. Найдём угол С. С=180*-(30*+90*)=60*. Т.к. СМ биссектриса, то угол ВСМ=углу МСА=60*:2=30*.Рассмотрим треугольник АМС. Найдём угол АМС=180*-(30*+30*)=120*. Осталось найти АВ. Рассмотрим треугольник МВС. СМ=6см (ты написала в сообщении, хотя в условии это не сказано). По свойству прямоугольного треугольника (напротив угла в 30* лежит катет, который равен половине гипотенузы), то МВ=6:2=3см. Теперь рассмотрим треугольник АМС-вавнобедренный (т.к. угол МАС=углу АСМ=30*).АМ=МС=6см (т.к. боковые стороны равнобедренного треугольника). Теперь находим АВ. АВ=3см+6см=9см.
ответ: Угол ВСМ=30*, угол АМС=120*, АВ=9см.
