ответ: √3:(2+√3) или, иначе, 2√3-3
Объяснение: Примем сторону квадрата равной х. Стороны квадрата попарно равны и параллельны.
Следовательно, углы при МР и АС равны, ∆ ВМР подобен ∆ АВС - он правильный, поэтому ВМ=МР=х
В прямоугольном ∆ АМL гипотенуза АМ=АВ-ВМ=1-х
АL=ML:tg60°=x:√3
С другой стороны, АL=AM•cos60° =>
x/√3=(1-x)•1/2 =>
2x=√3-x√3 =>
2x+x√3=√3 =>
x•(2+√3)=√3, откуда х=√3:(2+√3).
Умножив числитель и знаменатель получившейся дроби на (2-√3), получим √3(2-√3):(4-3)=2√3-3
Можно применить т.Пифагора из того же треугольника и получить тот же результат, или подобие треугольников АВН ( ВН - высота) и АМL, так как в подобных треугольниках отношение катетов одного из них равно отношению катетов другого.
Рассмотрим треугольники BCA и CAD. Так как ABCD – трапеция, то ее основания параллельны, т.е. BC||AD. Для прямых BC, AD и секущей AC углы BCA и CAD являются накрест лежащими, а значит равными. BC/CA=CA/AD, 2/4=4/8, сократим дроби и получим 1/2=1/2. По третьему признаку подобия имеем: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны. Следовательно, треугольники BCA и CAD подобны. А у подобных треугольников площади пропорциональны квадратам сходственных сторон. S BCA/S CAD=1^2/2^2=1/4.
ответ: диагональ AC делит площадь трапеции в соотношении 1:4
