. Знайдіть суму векторів:
а) АВ+ ВС + СТ;
​

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен 8.Найдите периметр треугольника и радиус вписаной окружности.

Центр и описанной, и вписанной окружности правильного треугольника лежит в точке пересечения медиан ( высот/биссектрис).
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Причем радиус описанной окружности содержит 2/3, радиус вписанной 1/3 медианы ( высоты).
Следовательно, и радиусы описанной и вписанной окружности относятся так же:
R:r=2:1
R=8, ⇒ r=8:2=4
Высота данного треугольника h=8+4=12
Сторона треугольника 
а=h:cos(60°)=8√3
Периметр
Р=3*8√3=24√3 
ответ:
Р=24√3
r=4

Решение

Проведем МК - апофема

по теореме Пифагора Mk=√(MA²-(AB/2)²)=√(12²-3√2²)=√128=6√2 см

а) Sбок=1/2Pa=1/2*4*6√2*8√2=192 см²

Найдем высоту пирамиды MO: MO=√(MK²-(AB/2))=√(8√2²-3√2²)=√110 см

б) V=1/3SH=1/3*(6√2)²*√110=24√110 см³

в) угол наклона боковой грани к плоскости основания cosMKO=KO/MK=3√2/8√2=3/8

г) угол между боковым ребром и плоскостью основания MAO: cosMAO=OA/AM=6/12=1/2

MAO=60 градусов

д) скалярное произведение векторов (АВ+АД)АМ=AC*AM

=|AC|*|AM|cosMAO=12*12*1/2=72 см²

е)радиус описанной сферы равен AO1=O1C

рассмотрим треугольник АМС - равносторонний: радиус описанной окружности r=12*√3/3=4√3

Тогда площадь сферы:  S=4πr²=4π*(4√3)²=192π см²