Другими словами надо найти радиус основания вписанного в шар цилиндра.Задача на экстремум.R-радиус шара Объем данного цилиндра с неизвестным радиусом r и высотой V=pi*H*r^2. Как известно осевым сечением вписанного цилиндра будет прямоугольник с основанием 2r, высотой H и диагональю 2R. Выразим квадрат радиуса основания цилиндра через его высоту и радиус шара, используя теорему Пифагора: r^2 = R^2 − (H/2)^2. Зависимость объёма вписанного цилиндра от высоты принимает вид: V(H) =pi(R^2 − (H/2)^2)H =10,25pi(4R^2−H^2)H = 0,25pi(4R^2*H−H^3) (0 < H < 2·R) Найдем производую функции V(H): V`(H)=0,25pi(4R^2-3H^2) V'(H)=0 0,25pi(4R^2-3H^2)=0 4R^2-3H^2=0 H^2=(2/3)R^2 H=R√(2/3) (отрицательный не входит в область определения) r^2 = 2R²/3; r=R√(2/3) r=6√(2/3)=6√(2/3):2/3=9√(2/3)
Задача решается двумя Графически и алгебраически. приложение №1): Через точку С проводим диаметр окружности. Обозначаем его СМ. Проводим отрезок АМ. В треугольнике АМС угол А прямой (МС диаметр вписанного прямоугольного треугольника). АВДМ - трапеция (АМ||ВД), углы АВМ и АДМ равны (опираются на одну хорду АМ). Трапеция АВДМ - равнобедренная, АВ=МД=3 см. Треугольник МСД прямоугольный. МД=3 см, ДС=4 см, МС=√(3³+4³)=5 см. Радиус 5/2=2,5 см.
приложение №2): Радиус описанной окружности вокруг четырехугольника, равен радиусу описанной окружности любого треугольника, образованного сторонами этого четырехугольника. Радиус описанной окружности - R=a/2sinα , где а - сторона треугольника, α - противолежащий угол. Рассматриваем треугольник НВС, где Н точка пресечения диагоналей. Прямоугольный, угол Н (по условию), угол В - β, угол С - (90-β). R=СД/2sinβ=2/sinβ; R=АВ/2sin(90-β)=3/2cosβ. Делим одно выражение на другое. 3/2cosβ * sinβ/2=3tgβ/4=1, tgβ=4/3 R=2/sin(atgβ)=2.499999=2.5 см.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
