1)
Радиус вписанной окружности правильного многоугольника совпадает с его апофемой (т.е. перпендикуляром, опущенным из центра на любую сторону)
Правильный шестиугольник можно разделить на 6 правильных треугольников. Его площадь равна площади 6 таких треугольников и S(шестиугольника)=6•S (треуг)
Нам известен радиус вписанной в шестиугольник окружности, т.е. высота правильного треугольника АОВ (см. рисунок). Для нахождения площади правильного треугольника воспользуемся формулой
Тогда 
дм²
––––––––––
2)
По условию 
Примем коэффициент отношения радиусов окружностей равным а. Тогда радиус первой равен 5а, второй –3а
5a-3a=40⇒
a=20 см
r1=100 см=1м
S1=π•1²=π м²
60 см=0,6 м
S2=π•(0,6)²=0,36 м²
–––––––––––
3)
Найдите площадь сегмента круга, радиуса 4 см, если его хорда равна 4√2 см
Пусть центр круга О, хорда - АВ.
АО=ВО ⇒∆ АОВ - равнобедренный
По т.косинусов АВ²=АО²+ВО²- 2АО•ВО•cos∠AOB
32=2•16-2•16•cosAOB⇒
cos AOB=0, ⇒ ∠АОВ=90°.
Площадь искомого сегмента равна разности площадей сектора с углом 90° и прямоугольного ∆ АОВ.
Градусная мера полного круга 360°, значит, площадь сектора с углом 90°=1/4 площади круга
S сектора=16π:4=4π
S ∆ АОВ=4•4:2=4•2
S сегм=4π-4•2=4(π-2)= ≈4,566 см²
4)
Отношения отрезков сторон треугольника АВС, на которые их делят данные точки, одинаковы.
Примем коэффициент отношения отрезков сторон равным а.
Тогда АВ=7а.
Треугольники у вершин подобны треугольнику АВС, т.к. имеют общую вершину и стороны исходного треугольника пропорциональны сторонам треугольников, «отсекаемых» от него у вершин, с коэффициентом подобия 7:2, Поэтому эти отсекаемые треугольники равновелики.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
k=АВ:ВК=7:2 ⇒
S (ABC):S(BKM)=k²= 49/4
245:S(BKM)=49:4⇒
S(Δ BKM)=20
S(ТКМОНР)=245-3•20=185 мм²
Объяснение:
20.1 ΔАВС-прямоугольный, АВ-катет, ВС-катет, АС-гипотенуза
ВС/АС=sin∠A b/y=sinx b=y·sinx
AB/AC=cos∠A a/y=cosx a=y·cosx
20.2 AB/AC=sin∠C a/y=sinx a=y·sinx
BC/AC=cos∠C b/y=cosx b=y·cosx
21.1 BC/AC=cos∠C y/b=cosx b=y/cosx
AB/BC=tg∠C a/y=tgx a=y·tgx
21.2 AB/AC=cos∠A y/a=cosx a=y/cosx
CB/AB=tg∠A b/y=tgx b=y·tgx
22.1 ΔBNC-прямоугольный NC/BC=sin∠NBC z/6=sin30° z=6·sin30°=6·1/2=3 см
∠B=90° ∠NBC=30° ⇒ ∠ABN=90°-30°=60°
ΔANB-прямоугольный ∠A=90°-∠ABN=90°-60°=30°
из ΔABC BC/AC=sin∠A 6/AC=sin30° AC=6÷1/2=12 см
AN=AC-NC y=12-3=9 см
по теореме Пифагора АВ=√АС²-ВС² х=√144-36=√108=6√3 см
22.2 ΔBNC-прямоугольный ∠С=60° ⇒ ∠СBN=30°
CN/CB=sin∠CBN CN/9=sin30° z=9·1/2=4,5 см
∠NBC=90°-∠CBN=90°-30°=60° т.к. ΔBNA-прямоугольный ∠А=90°-60°=30°
CB/AC=sin∠A 9/AC=sin30° AC=9÷1/2=18 см
NA=AC-CN y=18-4,5=13,5 см
по теореме Пифагора АВ=√АС²-ВС² х=√18²-9²=√243=9√3 см
