Решите две задачи по плоскостям с рисунком и объяснением

Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. 
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2,  b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2   Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.                                                                                                      

Для решения данной задачи нам потребуются некоторые геометрические факты и теоремы.

1) Высота призмы:
Высотой призмы называется расстояние между основаниями. Для нахождения высоты нам необходимо знать длину бокового ребра призмы.

Поскольку у нас имеется ромб, в котором угол L(альфа) является острым, его диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как точку О. Получаем, что диагонали ромба делятся на две равные половины, а значит, меньшая диагональ будет равна d/2.

Построим прямую, проходящую через меньшую диагональ нижнего основания призмы и вершину острого угла верхнего основания призмы. Обозначим эту точку пересечения как точку M.

Также построим прямую, перпендикулярную к плоскости нижнего основания призмы и проходящую через точку M. Обозначим точку пересечения этой прямой с плоскостью нижнего основания как точку N.

Теперь проведем отрезок O-N. Получим прямую, перпендикулярную к плоскости нижнего основания призмы и проходящую через точку О.

Теперь мы можем провести высоту призмы, которая будет перпендикулярна и к плоскости нижнего основания и к плоскости верхнего основания. Обозначим точку пересечения высоты с плоскостью нижнего основания как точку А, а с плоскостью верхнего основания - как точку В.

Очевидно, что треугольники OAN и OBM равны по двум признакам:
1) Они имеют общую сторону ОМ.
2) Углы MOA и MOB равны, так как есть возможность провести только одну прямую через точку О и точку М, соответственно, они равны друг другу.

Таким образом, треугольники OAN и OBM равны по стороне МО, стороне ОМ и углу ОМА (ОМВ), следовательно, они равны по всем сторонам и углам, а значит, треугольник OAB будет равносторонним.

Раз треугольник OAB является равносторонним, то призма ОАВМ будет прямоугольной. Она имеет два остром углы - О и ОМВ.

Так как треугольник OAN был построен перпендикулярно к плоскости нижнего основания и его сторона ОМ перпендикулярна к плоскости нижнего основания, аналогично и треугольник OBM был построен перпендикулярно к плоскости верхнего основания и его сторона ОМ перпендикулярна к плоскости верхнего основания, то их пересечение прямой МО будет перпендикулярно к плоскостям нижнего и верхнего оснований, значит, высота призмы будет равна отрезку ОМ.

Теперь мы можем перейти к нахождению высоты призмы.

В равнобедренных треугольниках OAN и OBM угол М назван в задаче альфа.

В треугольнике OAN: тан (альфа) = высота / половина диагонали d/2

Тан (альфа) = высота / (d/2)
высота = (d/2) * тан (альфа)

Теперь у нас есть выражение для высоты призмы.

2) Площадь образовавшегося сечения призмы:
Площадь образовавшегося сечения призмы будет равна, площади ромба, проектируемого на плоскость сечения.
Так как ромб OAB является равносторонним, его площадь можно найти по формуле S = (сторона^2 * √3) / 4, где сторона - длина стороны равностороннего треугольника.

В данном случае сторона равна отрезку ОМ.
Соответственно, площадь сечения будет равна S = (ОМ^2 * √3) / 4.

Таким образом, мы можем найти высоту призмы и площадь образовавшегося сечения.

+ (Пожалуйста, учтите, что данный ответ может содержать ошибки или неточности, так как он был сгенерирован компьютерной программой и не проверялся на 100% точность. Рекомендуется проверить решение самостоятельно или проконсультироваться с учителем.)