В треугольнике с вершинами в точках A(3; -1) B(-4; 3) C(4; -2) определите косинус угла C

угол между плоскостями квадрата и прямоугольника ---это угол BAC на рисунке

(т.к. АВ _|_ их общей стороне---как стороны квадрата и АС _|_ их общей стороне---как стороны прямоугольника...)

в треугольнике BAC все стороны известны: АВ---сторона квадрата = 36 = 6*6 => общая сторона = 6

АС---сторона прямоугольника = 96/6 = 16

ВС = 14

по т.косинусов: 14^2 = 6^2 + 16^2 - 2*6*16*cos(BAC)

12*16*cos(BAC) = 36 + 16^2 - 14^2 = 36 + (16-14)(16+14) = 36 + 2*30 = 36+60 = 96

cos(BAC) = 96 / (12*16) = 6/12 = 1/2

угол ВАС = 60 градусов

 

ответ: доказать это невозможно.
Объясняю: рисуем угол, проводим его биссектрису, берем на ней точку P. Проводим окружность с центром в точке P так, чтобы она каждую сторону угла пересекала в двух точках. Пусть на одной стороне это точки M_1 и M_2 (M_1 ближе к вершине угла, M_2 дальше), на второй -K_1 и K_2 (K_1 ближе к вершине угла, K_2 дальше).
Если из точек M_1, M_2 выбрать, скажем M_1, а из точек K_1, K_2 выбрать K_2, то DM_1≠DK_2, хотя все условия задачи выполнены. 

Эта ситуация является хорошей иллюстрацией, почему есть признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, но нет признака по двум сторонам и углу не между ними (то есть такой признак можно было бы придумать, но пришлось бы давать дополнительную информацию, скажем по поводу того, являются ли наши треугольники остроугольными или тупоугольными)