Основа AB трапеції ABCD лежить у площині  , а її вершини C і D не лежить в цій площині. На сторонах AD і BC позначено відповідно точки M і N так, що AM  MD , BN  NC . Яке взаємне
розміщення прямої MN і площини  ?

В данном случае необходимо использовать обратную теорему Пифагора. Которая гласит, что, если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется равенство c2 = a 2 + b 2 , то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит стороне c.

Так как сумма квадратов сторон треугольника МРК -  MP и KP -  равна квадрату большей стороны - MK:

9^2+12^2=15^2,значит треугольник-прямоугольный,то есть его площадь равна половине произведения катетов MPи KP:

S=9*12/2=54.

Если в треугольнике провести высоту PH, например, то она будет являться высотой и для треугольника МРК, и для треугольника КРТ. Таким образом, получаем, что:

Sкрт=1/2 * РН*КТ

Sмрк=1/2 * РН*МК

Данные площади относятся, как КТ/МК, то есть, как 10/15= 2/3 -> площадь треугольника КРТ равна 2*Sмрк /3 = 2* 54/3=36

Получается, что площадь второго треугольника - треугольника МРТ - равна 1/3 площади основного треугольника, то есть 18.

ответ: 18 и 36

АВ - биссектриса, АС - медиана, ВС - отрезок между точками пересечения биссектрисы и медианы со стороной треугольника.

Для начала построим треугольник АВС.
Отрезок ВС - часть стороны искомого треугольника, противоположной вершине А, поэтому смело рисуем всю прямую ВС.

Вспоминаем, как ведём себя биссектриса во вписанном треугольнике. Она пересекает дугу описанной окружности, отсечённую противоположной стороной, посередине. так как на равные половинки этой дуги опираются равные вписанные углы, образованные биссектрисой из угла происхождения.

Одновременно, срединный перпендикуляр хорды проходит не только через центр описанной окружности, но и делит дуги окружности, образованные хордой, пополам, значит продолжение биссектрисы АВ и срединный перпендикуляр к стороне треугольника, содержащей отрезок ВС, пересекаются на описанной окружности.
Точка С - середина будущей стороны искомого треугольника. Проведём через неё перпендикуляр прямой ВС, который пересечётся с биссектрисой АВ в точке Д.

Прямая СД проходит через центр описанной окружности, а АД - хорда.
Срединный перпендикуляр к хорде АД даст нам точку Е  - пересечение со срединным перпендикуляром будущей стороны искомого треугольника. Е - центр описанной окружности, проходящей через точки А и Д. Строим её, получаем точки F и G на прямой ВС.

Дуги FD и GD равны, значит ∠FAB=∠GAB.
FC=CG.

ΔAGF - наш треугольник.